24. Методичні особливості вивчення теми «коло і круг».

Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки, яка називається центром кола. Відстань від точки кола до його центра називається радіусом. Відрізок, який сполучає дві точки кола називається хордою. Хорда, що проходить через центр називається діаметром.

Необхідно знати, де лежать центри вписаного і описаного кола в трикутниках. Вписаного - на перетині сер. перпендикулярів, описаного - на перетині бісектрис. Наочне уявлення про довжину кола даємо за допомогою нитки. Розглядають також питання про вписані в коло кути.

Тут же вводиться радіанна міра кута: 180° - ; 1°= /180°, п° - п /180°. Радіанною мірою кута називається відношення довжини відповідної дуги до R.:

1/R= n/180°. 1 рад - це кут, довжина дуги якого дорівнює радіусу. 1 рад = 57°.

Кругом, називається фігура, яка складається зі всіх точок площини, відстань від яких до даної точки не більша за дану. Ця точка називається центом круга, а відстань -радіусом.

.

Тут же розглядається площа кругового сектора (частина, що лежить всередині відповідного центрального кута ).

.

25. Методика вивчення теми «перпендикулярність прямих і площин в просторі».

Зміст навчального матеріалу цієї теми можна розділити умовно на три блоки:

1) перпендикулярність прямих у просторі;

2) перпендикулярність прямої і площини;

3) перпендикулярність площин.

Методична схема вивчення кожного блоку та сама, що і в по­передній темі. Спочатку вводиться означення перпендикулярнос­ті відповідних об'єктів, потім формулюється і доводиться ознака їх перпендикулярності. Для прямої і площини розглядається за­дача на побудову перпендикулярних прямої і площини, доводяться єдиність такої площини та властивість перпендикулярної пря­мої і площини. Особливе місце і роль у цій темі належать навча­льному матеріалу, що стосується перпендикуляра і похилої до площини та теореми про три перпендикуляри. Остання застосо­вується при розв'язуванні задач, пов'язаних з многогранниками і тілами обертання. Схемою доведення цієї теореми часто послу­говуються в задачах.

Тому важливо домогтися того, щоб усі учні вміли доводити теорему про три перпендикуляри.

У зв'язку з вивченням перпендикулярності прямих у просторі треба повторити відповідний матеріал з планіметрії і стереомет­рії. У навчальній і методичній літературі відомі два види озна­чень перпендикулярних прямих у просторі:

1) дві прямі називаються перпендикулярними, якщо вони пе­ретинаються під прямим кутом;

2) дві прямі називаються взаємно перпендикулярними, якщо кути між ними дорівнюють 90°.

Друге означення охоплює і прямі, які не перетинаються, зок­рема мимобіжні прямі. Відповідно до цього прийнято і два види означень перпендикулярних прямої і площини:

1) пряма, що перетинає площину, називається перпендикуляр­ною до площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, яка лежить в даній площині і проходить через точку перетину;

2) пряма і площина називаються перпендикулярними, якщо пря­ма перпендикулярна до кожної прямої, яка лежить у площині.

Перевага першого означення для прямої і площини полягає в тому, що включення умови їх перетину в означення позбавляє не­обхідності спеціально доводити цей факт. Друге означення можна ввести в класах з поглибленим вивченням математики, доповнив­ши його умовою перетину прямої і площини (умова проходження прямої площини через точку перетину прямої і площини тут не вимагається). Таке означення полегшить доведення деяких теорем і розв'язування задач, зокрема теореми про три перпендикуляри.

Щодо означення перпендикулярних площин, то в учнів, за аналогією з означенням перпендикулярних прямих, виникає ба­жання означити їх як такі, що перетинаються під прямим кутом. Однак відразу ж виникає, проблема: що розуміти під кутом між площинами? У підручниках по-різному розв'язується ця пробле­ма. У підручнику О. В. Погорєлова дві площини, що пере­тинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площи­на, яка перпендикулярна до прямих перетину цих площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих. У посібнику Л. С. Атанасяна та ін. спочатку вводиться означення двогранного кута, а відтак на цій основі дається означення перпендикулярних пло­щин.

Теореми, що стверджують ознаки перпендикулярності в прос­торі двох прямих, прямої і площини, двох площин, можна дово­дити різними способами. Здебільшого доведення виконуються шляхом розгляду паралелограмів і ланцюжка рівних трикутників. Разом з тим, наприклад, ознаку перпендикулярності прямої і пло­щини, теорему про два перпендикуляри і теорему про три пер­пендикуляри можна було б довести векторним методом.

26. Геометричні побудови на площині і в просторі.

27. Методика проведення перших уроків стереометрії.

До перших уроків стереометрії ми відносимо ті, які стосуються першої теми курсу - "Аксіоми стереометрії, їх найпростіші наслідки". Слід мати на увазі, що при вивченні перших тем стереометрії натрапляють на труднощі, пов'язані з недостатнім розвитком в учнів просторових уявлень й уяви, значною абстрактністю навчального матеріалу порівняно з планіметричними, перевантаженістю теоремами, у тому числі й дрібними, наявністю багатьох аналогій і відмінностей між відповідними поняттями і твердженнями планіметрії стереометрії.

З метою зменшення першої із труднощів необхідно використовувати наочність. Зменшити другу трудність, дає змогу конкретизація аксіом, означень і теорем, їх застосуванням в житті та техніці Перевантаженість можна зменшити, зосередивши увагу учнів на вузлових термінах, що будуть часто використовуватись надалі.

Щодо аналогій і відмінностей, в навчальному матеріалі планіметрії і стереометрії, то необхідно користуватись аналогіями, які допомагають учням усвідомити і запам'ятати факти із стереометрії і застерегли від аналогій, що можуть привести до помилок.

Основна мета вивчення першої теми – повторення аксіом планіметрії і засвоєння аксіом стереометрії. Учні мають знати аксіоми стереометрії і наслідки з них, вміти застосовувати їх при розв'язуванні задач. Вимога все доводити за посиланням на аксіоми і доведенні раніше теореми є обов'язковою.

Перший урок доцільно присвятити поясненню ідеї дедуктивної побудови геометрії на прикладі планіметрії, походження та ролі первісних понять і аксіом, повторенню аксіом планіметрії і схеми логічної будови геометрії.

На другому уроці доцільно ввести поняття про стереометрію як розділ геометрії, який вивчає властивості фігур у просторі. Звернути увагу на те, що найпростішими фігурами є точка, пряма і площина. Необхідно сформулювати аксіоми, що виражають властивості нової фігури – площини.

До аксіом відносяться всі аксіоми планіметрії + наступні:

1. Хоча б яка була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать їй.

2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.

28. Урок, вимоги до сучасного уроку математики в школі. Підготовка вчителя до уроку математики.

Схема аналізу уроку: 1) загальні відомості про урок (тема, мета, тип, доцільність вибору, місце уроку в системі уроків); 2) здійснення мотивації навчальної діяльності; 3) актуалізація опорних знань; 4) виховання на уроці; 5) дотримання дидактичних принципів навчання (науковість, доступність викладу, свідомість, послідовність, зв’язок з життям, індивідуальний та диференційований підхід до учнів); 6) методи навчання; 7) використання засобів навчання (дошка, моделі, таблиці, комп’ютерні засоби, засоби екранізації); 8) психологічна обстановка на уроці (активність учнів, керування їх увагою, запам’ятовуванням , ставлення вчителя до учнів, їх поведінка); 9) оцінювання знань і вмінь учнів; 10) підготовленість вчителя до уроку (загально-математична культура); 11) висновки і пропозиції.

Планування роботи вчителя математики здійснюється, як правило, перед кожним на­вчальним півріччям, копи складається кален­дарний план з кожного предмета, і протягом навчального року, коли складаються тематичні плани з окремих тем і плани або конспекти до кожного уроку (поурочні плани, плани-конс­пекти).

Календарний план включає весь навчальний матеріал програ­ми, розподілений по уроках. Він затверджується адміністрацією школи. Враховуючи обставини, які складаються в конкретному класі, вчитель може вносити до календарного плану певні зміни

Підготовку до уроку доцільно починати з перегляду календарного або тематичного плану, або конспекту попереднього уроку з тим, щоб урахувати, чи план попереднього уроку виконано пов­ністю, чи, можливо, щось не вдалося подати. Треба ще раз роз­глянути можливі способи розв'язування тих вправ і задач, які пропонувались учням як домашнє завдання, підібрати прізвища учнів, яких треба опитати чи перевірити їхню домашню роботу.

Після цього треба уважно вивчити відповідний матеріал під­ручника, ознайомитись з методичними посібниками, продумати, які треба використати наочні, технічні, обчислювальні засоби навчання, персональні комп'ютери.

Якщо урок потребуватиме виготовлення дидактичних матеріа­лів (таблиця, модель, діапозитиви до графопроектора тощо), то зробити це варто заздалегідь.

Досвідчені вчителі складають поурочні плани, які є обов'язковим документом, без наявності якого керівництво школи має право не допустити вчителя до проведення уроку

Поурочний план (одна-дві сторінки) за формою може бути до­вільним, але має відбивати мету уроку, його структуру методи, організаційні форми і засоби, які використовуватимуться на уро­ці, необхідний навчальний матеріал, домашнє завдання.

29. Методика вивчення теми «Паралельність прямих і площин у просторі»

Приступаючи до вивчення теми, доцільно виділити для учнів чотири блоки в змісті навчального матеріалу.

1. Паралельність прямих у просторі; мимобіжні прямі.

2. Паралельність прямої і площини.

3. Паралельність площин у просторі.

4. Паралельне проектування як спосіб зображення просторо­вих фігур на площині.

Вивчення першого блоку навчального матеріалу природно почати з розгляду можливих положень двох прямих а і в на пло­щині і в просторі, Учні пригадають, що в планіметрії, тобто на площині, можливі лише два положення прямих а і в: 1) прямі а і в перетинаються; 2) прямі а і в паралельні.

Варто пригадати означення паралельних прямих у планіметрії і зазначити, що воно містить лише одну суттєву властивість - «не перетинаються». Далі, «використовуючи стереометричний ящик, модель куба або прямокутного паралелепіпеда, з'ясовують мож­ливі положення двох прямих а і в просторі. Учні самі доходять висновку, що таких можливих положень три: 1) прямі а і в пере­тинаються; 2) прямі а і в лежать в одній площині і не перетинаються; 3) прямі а і в не лежать в одній площині і не перетина­ються.

Як і в планіметрії, дві прямі в просторі вважаються такими, що перетинаються, якщо вони мають лише одну спільну точку. Після цього вводяться означення паралельних і мимобіжних пря­мих у просторі. Важливо наголосити, що означення двох парале­льних прямих у просторі включає дві суттєві властивості: 1) лежати в одній площині; 2) не перетинатися.

Кожна з цих властивостей необхідна і лише обидві разом до­статні для того, щоб дві прямі в просторі вважались паралель­ними.

Доведення ознаки паралельності прямих у просторі досить громіздке. Тому важливо із самого початку доведення зробити цільову установку: якщо кожна з прямих в і с паралельна прямій а і треба довести, що в || с, то для доведення слід скористатися означенням паралельних прямих у просторі, оскільки жодна ознака ще не відома. Отже, треба довести два факти: 1) прямі в і с лежать в одній площині; 2) прямі в і с не перетинаються.

При доведенні ознаки паралельності прямої і площини до­цільно відразу ж сформулювати мету доведення - треба довести, що пряма а, яка не належить площині і паралельна прямій а₁ цієї площини, не може перетнути площину . Учні вже із 7 класу повинні бути зорієнтовані на те, що неможливість чого-небудь доводиться методом від супротивного. Після виконання додатко­вої побудови (проведення площини через паралельні прямі а і а₁) учні спроможні самостійно провести міркування методом від супротивного, виконавши три кроки. 1. Припустимо, що а пере­тинає . 2. Тоді точка перетину мала б належати прямій а₁. Проте це суперечить умові теореми, бо а || а₁. 3. Припущення непра­вильне, а справедливе те, що пряма не перетинає площину , тоб­то, за означенням, паралельна площині .

Паралельність площин вивчається за тією самою методичною схемою: спочатку формулюється означення паралельних площин після розгляду на моделях можливих положень двох площин у просторі. Учні без особливих труднощів з'ясовують два можливі положення і за аналогією з попередніми означеннями паралельності прямої і площини самі формулюють означення паралельних площин.

Далі виникає потреба сформулювати теорему, яка стверджує ознаку паралельності двох площин. Шкільна практика свідчить про те, що деякі учні намагаються сформулювати цю ознаку за аналогією з ознакою паралельності прямих у планіметрії. Така спроба розглянути ситуацію перетину двох площин третьою при­водить до необхідності розглядати двогранні кути між площина­ми. Однак такі кути не розглядались. Учитель сам повинен сфор­мулювати ознаку паралельності двох площин і звернути увагу учнів на те, що, виходячи з умов теореми, треба довести, що дані площини не можуть перетнутися, тобто підвести їх під означення паралельних площин. Учні самі виберуть метод доведення від супротивного і зроблять перший крок припущення, що площини перетинаються. Проте відповідний рисунок учням зробити важко. Потрібна допомога вчителя. Дальші міркування, що випливають з припущення, учні можуть знайти колективно.