logo search
Vyshka

27) Задачи приводящие к понятию производной

Для начала, обратимся к повсеместно употребляемому, общепринятому, бытующему уже почти три века, ставшему классическим, математическому понятию (определению) производной функции (дифференциала).Разъясняется это понятие во всех многочисленных учебниках одинаково и приблизительно так.Пусть величина u зависит от аргумента х как u=f(x). Если f(x) была зафиксирована в двух точках значениях аргумента: x2, x1,, то мы получаем величины u1=f(x1), и u2=f(x2). Разность двух значений аргумента x2, x1 назовём приращением аргумента и обозначим как Δx=x2-x1 (следовательно, x2=x1+Δx). Если аргумент изменился на Δx=x2-x1, , то функция изменилась (приросла) как разность двух значений функции u1=f(x1), u2=f(x2) на величину приращения функции Δf. Записывается обычно так:Δf=u1-u2=f(x2)-f(x1) . Или с учётом что x2=x1+Δx, можно записать, что изменение функции равно Δf= f(x1+Δx)-f(x1). И это изменение произошло, естественно, на области возможных значений функции x2 и x1,.Считается, что если величины x2 и x1, бесконечно близки по величине друг к другу, тогда Δx=x2-x1, - бесконечно мало.Определение производной: Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции Δf в этой точке к приращению аргумента Δх, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.LimΔx→0 (Δf(x0)/Δx)=limΔx→0 ((f(x+Δx)-f(x0))/Δx)=f`(x0)Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке.