§ 11.4. Непрерывные функции многих переменных
127
§ 11.4. Непрерывные функции многих переменных
Определение. Пусть точка x0 E . Говорят, что функция (x) непрерывна в точке x0 по множеству , если определена во всех точках множества из некоторой окрестности точки x0 и для каждого > 0 существует ( ) > 0 такое, что для всех x из -окрестности точки x0, справедливо неравенство
| (x) − (x0)| < .
Это – определение “на языке − ”. На “языке последовательностей” при тех же предположениях об области определения функции соответствующее условие формулируется так: для любой сходящейся к точке x0 последовательности точек {x( )}, принадлежащих множеству , имеет место равенство
lim (x( )) = (x0).
→∞
Если x0 – изолированная точка множества , т.е. в некоторой окрестности x0 нет других точек из , то каждая функция, которая определена в точке x0, непрерывна в этой точке по множеству .
Если точка x0 не является изолированной точкой множества , то она – предельная точка . В этом случае непрерывность функции в точке x0 можно определить с помощью предела: функция непрерывна в точке x0 по множеству , если
lim (x) = (x0).
x→x0, x
В предельных точках множества многие свойства функций, непрерывных по , вытекают из свойств пределов.
Например, если функция непрерывна в точке x0 по множеству, то в точках множества , принадлежащих достаточно малой окрестности точки x0 она ограничена. Если функция непрерывна в точке x0 по множеству и (x0) ̸= 0, то сохраняет знак в точках из некоторой окрестности точки x0. На этот случай переносятся также теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, и теорема о непрерывности модуля непрерывной функции.
- § 8.2. Методы интегрирования
- § 9.1. Определение интеграла Римана
- § 9.6. Связь определённого и неопределённого интегралов
- § 9.7. Теоремы о среднем
- § 9.9. Приближённое вычисление интегралов
- § 9.11. Задачи и упражнения
- Глава 10. Интеграл Римана–Стилтьеса
- § 10.1. Функции ограниченной вариации
- § 10.2. Определение интеграла Римана–Стилтьеса
- § 10.4. Задачи и упражнения
- § 11.3. Пределы функций многих переменных
- § 11.4. Непрерывные функции многих переменных
- § 11.5. Задачи и упражнения
- § 12.6. Формула Тейлора
- Глава 14. Экстремумы функций многих переменных
- § 14.1. Локальные экстремумы
- § 14.2. Условный локальный экстремум
- § 14.3. Метод неопределённых множителей Лагранжа