Степенные ряды

Степенными рядами называются ряды вида , где a_n, x₀ –постоянные, x – переменная.

Мы будем рассматривать ряды с x₀ = 0, т.е.

1 теорема Абеля. Пусть сходится при некотором x₀. Тогда для любого h< ряд сходится равномерно на [-h;h]

Доказательство: Так как сходится, то , где M>0 – некоторая постоянная.

сходится по признаку Вейерштрасса

Следствие: 1) Область сходимости степенного ряда D может быть одним из следующих множеств:

D= , где R – радиус сходимости.

Любой степенной ряд сходится в точке x=0. В остальных случаях ряд сходится при всех , если R – радиус сходимости (точная верхняя грань множества x, для которых ряд сходится)-существует. Если точной верхней грани нет, то полагают - ряд сходится на всей числовой прямой.

Приведём примеры:

Чтобы найти радиус сходимости, можно воспользоваться признаками сходимости знакопостоянных рядов Даламбера, либо Коши.

Признак Даламбера:

Признак Коши:

Примечание. Если ни один из указанных пределов не существует, то нужно положить радиус сходимости равным нижнему пределу (наименьшему частичному пределу) выражения для R.

Пример:

не существует, но =1 => => R = 1

2 теорема Абеля: Ряд сходится в точке x=x₀ . Тогда ряд сходится равномерно на отрезке [0;x₀] (или [x₀;0] если x₀<0).

Доказательство:

=> По признаку Абеля

Следствия:

1. Непрерывность суммы степенного ряда

, D – область сходимости

2) Интегрирование суммы степенного ряда

, D – область сходимости

– радиус сходимости не меняется.

2. Дифференцирование суммы степенного ряда

, радиус сходимости при дифференцирование не меняется.