11. Методика вивчення показникових рівнянь і нерівностей.

Рівняння називаються показниковими, якщо невідомі в ньому містяться в показнику степеня. В школі звичайно розв'язують найпростіші показникові рівняння. Слід застерегти учнів від досить поширених помилок, коли вони з певних причин втрачають розв'язки, або вказують зайві. Для розв’язування показникових рівнянь загального методу немає, тому слід користуватися такими правилами: 1) якщо основа двох степенів і степені рівні, причому основа і , то показники степенів також рівні, тобто якщо , то . 2) Якщо у рівних степенів показники степенів рівні , то рівні і основи степенів, тобто , , то .

Найпростішим показниковим рівнянням є . При і , рівняння коренів не має; при рівняння має єдиний корінь.

Розглянемо ще рівняння виду . Тоді вводиться заміна і отримуємо елементарне рівняння ; і розв'язуємо звівши до .

Під час розв’язування нерівності виду використовують властивість монотонності показникової функції.

Функція у=а^х, якщо а>1 – зростає, а якщо 0<a<1 – спадає.

Для а>1 більшому значенню функції відповідає більший показник. Отже, для а>1 розв’язування даної нерівності зводиться до розв’язування нерівності f(x)>φ(x). Якщо 0<a<1, показникова функція спадає, тобто більшому значенню функції відповідає менший показник, і для 0<a<1 розв’язування нерівності зводиться до розв’язування нерівності f(x)<φ(x).

Приклади:

1) 3^2-х>27. перепишемо дану нерівність у вигляді 3^2-х>3³. оскільки тут а=3 і 3>1, то 2-х>3. Звідси

-х >1; х<-1.

2) Зведемо дану нерівність до спільної основи:

Оскільки а<1, то 3х>2x-4, x>-4.