Связь с расширением числовых полей

Вопрос разрешимости в квадратных радикалах тесно связан с алгебраическими расширениями числовых полей.

Пусть f(x)- левая часть уравнения (2)- есть многочлен над полем P. Поэтому будем считать, что P является минимальным числовым полем, которое содержит коэффициенты многочлена f(x),т.е. P=Q( ),т.к. всякое поле содержит поле Q рациональных чисел.

Определение 2. Основным полем P(или областью рациональности) уравнения =0 называется алгебраическое расширение Q( ) поля Q, образованное присоединением к нему коэффициентов данного уравнения.

Лемма. Для того чтобы уравнение (2) было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо и достаточно, чтобы каждый из его корней можно было выразить в квадратных радикалах через некоторые числа поля P.

Доказательство: В соответствии с определением 1, уравнение (2) разрешимо в квадратных радикалах, если каждый его корень выражается в квадратных радикалах через его коэффициенты. Поэтому доказательство леммы сводится к проверке того, что некоторое число ξ выражается в квадратных радикалах через коэффициенты уравнения (2) тогда и только тогда, когда оно выражается в квадратных радикалах через некоторые числа основного поля уравнения (2).

Если число ξ выражается в квадратных радикалах через коэффициенты (i= 0,1,…,n) уравнения, то тем самым оно выражается в квадратных радикалах через числа поля P=Q( ), ибо всех .

Пусть теперь, наоборот, число  выражается в квадрвтных радикалах через числа поля .Каждое из чисел в свою очередь выражается рационально через некоторые рациональные числа и коэффициенты (i= 0,1,…,n) данного уравнения. Но любое рациональное число также выражается рационально через коэффициенты (i=0,1,…,n). Действительно, среди последних есть хотя бы одно число, отличное от нуля, например, 0; поэтому числа 0,1, -1, рационально выражаются через :

0= - ; 1= ; -1=-

А произвольное число рационально выражается через 0,1,-1;

= при > 0 и = при < 0

Следовательно, каждое (i= 1,…m),а поэтому и  рационально выражаются через коэффициенты .

Теперь ясно, что разрешимость уравнения в квадратных радикалах означает возможность выразить все его корни в квадратных радикалах через числа основного поля .

С другой стороны, очевидно, что возможность выразить некоторое число  в квадратных радикалах через числа поля  означает возможность выразить все числа поля  в квадратных радикалах через числа поля .

Определение 3. Если - основное поле уравнения =0,а - корни этого уравнения, то поле =( ), образованное присоединением к  всех корней (i=1,2,…,n) называется нормальным полем (нормою) или полем разложения данного уравнения.

Теорема 3. Для того,чтобы уравнение (2) было разрешимо в квадратных радикалах, необходимо и достаточно, чтобы любое число его нормального поля  выражалось в квадратных радикалах через числа основного поля .

Доказательство: Если произвольное число из поля =( ) выражается в квадратных радикалах через числа поля , то, в частности, и корни уравнения выражаются в квадратных радикалах через числа поля , т.е. уравнение решается в квадратных радикалах. Наоборот, если выражаются в квадратных радикалах через числа поля ,то все числа полей ( ),   выражаются в квадратных радикалах через числа поля .

Следствие. Если - квадратичное расширение поля , то всякое число  выражается в квадратных радикалах через числа поля .

Доказательство: По определению квадратичного расширения =( ), где – корень некоторого квадратного уравнения ax²+bx+c=0,коэффициенты которого принадлежат P, а корни и не принадлежат. Очевидно  , т.к.  , поэтому    есть норма данного квадратного уравнения.

Таким образом, вопрос о разрешимости алгебраического уравнения в квадратных радикалах свелся к вопросу о возможности выразить все числа некоторого поля в квадратных радикалах через числа подполя .