8. Каноническое разложение многочлена

Для многочленов справедливо утверждение о возможности и однозначности разложения любого многочлена над полем в произведение неприводимых над этим полем многочленов. Точнее, имеет место следующая теорема:

Теорема 6. Любой многочлен ненулевой степени над полем можно представить в виде:

, (1)

где все - неприводимы над .

Представление (1) единственно с точностью до постоянных множителей и порядка нумерации многочленов .

Доказательство:

Т.к. кольцо главных идеалов, то для него верна ранее доказанная теорема, согласно которой, любой многочлен принадлежащий , не являющийся нулем и делителем 1 (т.е. deg f(x)≥1), разложим в произведение простых множителей, т.е. неприводимых многочленов. Единственность этого разложения с точностью до постоянных множителей и до нумерации сомножителей следует из ранее доказанной теоремы, которая утверждает, что два разложения элементов кольца главных идеалов в произведение простых множителей могут отличаться лишь порядком сомножителей и множителями, являющимися делителями 1 (в нашем случае – постоянными множителями).

Пример 11.

Следствие. Любой многочлен , где можно представить в виде:

, (2)

где – попарно различные (не ассоциативные) многочлены, неприводимые над полем Р. Это предоставление единственно с точностью до постоянного множителя и порядка нумерации сомножителей.

Представление (2) называют каноническим разложением многочлена f(x) в произведение неприводимых сомножителей.

Разложение (2) получается из разложения (1), если принять во внимание, что некоторые из многочленов в правой части равенства (1) взяты раз.

Неоднозначность разложений (1) и (2), связанная с возможностью заменить каждый из множителей ассоциированным, т.е. отличающимся от только постоянным множителем, можно устранить, если потребовать, чтобы все неприводимые многочлены имели старшие коэффициенты, равные 1. Многочлен, старший коэффициент которого равен 1, называется нормированным многочленом. Тогда разложение многочлена в произведение неприводимых нормированных множителей будет единственным с точностью до порядка множителей.

Пример 12. - неканоническое разложение,

- каноническое разложение,

- то же самое каноническое разложение.

Определение 9. Если неприводимый многочлен участвует в каноническом разложении (2) в степени с показателем , то говорят, что - есть множитель кратности .

Определение 10. Множители, кратность которых больше 1, называются кратными множителями многочлена.

Определение 11. Множители, кратность которых равна 1, называются простыми множителями многочлена.

Определение 12. Многочлен есть множитель кратности многочлена , если многочлен , но не делится нацело на .

Пример 13. Пусть многочлен разложен на неприводимые множители в Q[x].

Значит, многочлен имеет два различных неприводимых множителя:

Кратность , a кратность . Такое же каноническое разложение сохраняется и над любым расширением поля Q, т.к. и - многочлены первой степени, из этого следует, что они неприводимы над любым полем.

Пример 14. - каноническое разложение многочлена над полем R, следовательно, и над полем C. Но этот многочлен над полем Q имеет другое каноническое разложение:

Покажем теперь, что к многочленам можно применять метод нахождения НОД и НОК, подобный методу разложения на простой множитель в арифметике: например , надо найти сумму чисел и . Находим

, ,

Очевидно, что каждый общий делитель многочленов и над полем P имеет лишь такие неприводимые множители над этим полем, которые являются неприводимыми множителями как многочлена , так и многочлена .

Теорема 7. Если многочлены и разложены в произведение неприводимых множителей над полем P, то их НОД равен произведению всех неприводимых множителей, входящих, как в разложение многочлена , так и многочлена g(x). Если таких общих множителей нет, то и – взаимно простые (т.е. ).

Доказательство:

Предположим, что многочлены и имеют общие неприводимые множители: (необязательно различные). Тогда разложение многочленов f(x) и g(x) на неприводимые множители можно записать так:

Очевидно, что будет являться общим делителем многочленов и . Покажем, что – это НОД (f ,g).

Пусть произвольный общий делитель многочленов и . Ясно, что разложение на неприводимые множители над полем P имеет вид: , где - некоторые из многочленов . Это значит, что делится нацело на , а, следовательно, .

Пример 15. Найти НОД многочленов:

Применим метод разложения на неприводимые множители

Теорема 8. Если многочлены и разложены в произведение неприводимых множителей над полем P, то их НОК равен произведению всех неприводимых множителей, входящих в разложение одного из них, и всех неприводимых множителей, входящих в разложение другого, но не входящих в разложение первого.

(Доказательство аналогично доказательству предыдущей теоремы.)

Пример 16. Найти НОК многочленов: