8. Вивчення алгебраїчних виразів і їх тотожніх перетворень в шкільному курсі математики.

З найпростішими числовими і буквеними виразами учні сти­кались в 1-6 класах, вивчали найпростіші перетворення виразів за законами арифметичних дій. У курсі алгебри постає завдання - на основі вже здобутих знань і умінь систематизувати, поглибити і розширити знання, навички й уміння учнів про вирази та їх пе­ретворення, навчити цілеспрямовано використовувати їх під час виконання різних навчальних задач (спрощенні виразів, розв'язу­ванні рівнянь нерівностей, доведенні тотожностей та ін.).

Програма передбачає в 7 класі повторити й уточнити відомос­ті про числові і буквені вирази, формули, ввести поняття про то­тожно рівні вирази, тотожність, тотожні перетворення виразів.

У 8 класі передбачене вивчення тотожних перетворень раціо­нальних дробів, дробових виразів і перетворень ірраціональних виразів, пов'язаних з квадратним коренем.

У 9 класі тотожні перетворення цілих і дробових виразів ви­користовуються для розв'язування рівнянь, нерівностей, систем рівнянь. Вивчається спеціальне перетворення - розкладання квад­ратного тричлена на множники, яке використовується для виве­дення загальної формули коренів квадратного рівняння, побудови графіка квадратичної функції.

Вимоги до знань і вмінь під час вивчення виразів і їх перетво­рень можна сформулювати так:

розрізняти числові і буквені вирази;

розуміти зміст степеня з натуральним показником, одночлена, многочлена, алгебраїчного дробу, цілих і дробових виразів, сте­пеня з цілим показником;

уміти зводити до стандартного вигляду одночлени і многоч­лени;

знати формули скороченого множення і вміти застосовувати їх до тотожних перетворень виразів;

уміти додавати, віднімати, множити многочлени і розкладати їх на множники;

уміти скорочувати, додавати, віднімати, множити, ділити ал­гебраїчні дроби;

уміти зводити дробові вирази до вигляду дробу;

уміти перетворювати вирази, що містять квадратні корені.

До провідних понять теми належать такі по-провідних поняття: «числовий вираз», «вирази зі змінними» або «буквений вираз», «тотожно рівні вирази», «тотожність», «тотожне перетворення виразу», «одно­член», «многочлена», «дріб», «дробовий вираз», «раціональні ви­рази».

Понят­тя про вирази (числові і буквені), тобто вирази зі змінною, фор­муються описово на конкретних прикладах. Учні повинні вміти розрізняти, розпізнавати числові і буквені вирази.

Цілими називаються вирази, складені з чисел і змінних за до­помогою дій додавання, віднімання, множення і ділення на число, відмінне від нуля.

Дробовими раціональними виразами називаються раціональні вирази, які містять дію ділення на змінну або на вираз зі змінною.

Згідно з цими означеннями з наведених вище раціональних ви­разів вирази 5ху2; ; 42; -2,5; - цілі вирази, а вирази ; ; х + - дробові вирази.

Слід мати на увазі, що перетворення в курсі алгебри розподіляються, на два класи: 1) тотожні перетворення - перетворення виразів; 2) рівносильні перетворення - перетворення формул.

До основних видів тотожних перетворень многочленів нале­жать: зведення многочленів до стандартного вигляду, додавання і віднімання многочленів, множення одночлена на многочлен і обернене перетворення (розкладання многочлена на множники способом винесення спільного множника за дужки), множення многочлена на многочлен і обернене перетворення (розкладання многочлена на множники способом групування).

Зведення многочлена до стандартного вигляду виконується зведенням подібних членівДодавання і віднімання многочленів являє собою позначення цих дій і зведення подібних членів. При цьому учні повинні доб­ре знати правило відкриття дужок, перед якими стоїть знак «+» або «-».

У курсі алгебри вивчається й обернене перетворення. Тому учні мають знати правило взяття многочлена в дужки, якщо пе­ред ними стоїть знак «+» або «-».

Чинна програма передбачає вивчення в 7 класі формул скороченого множення:

(а±в)²=а²±2ав+в²·,(а-в)(а+в)=а²-в²;

(а±в) (а² ав+в²)=а^з±в^З.

(а ± в)³ = а³ ± За²в - Зав² ± в³