6.Наименьшее общее кратное

Определение 4. Общим кратным многочленов f(x) и g(x) P[x] называется любой многочлен без остатка, S(x) P[x], который делится и на f(x), и g(x) без остатка т.е. S(x) – общее кратное многочленов f(x) и g(x)  S(x) f(x)^ S(x) g(x)

Определение 5. Наименьшим общим кратным многочленов f(x) и g(x) называется их общее кратное, которое делит любое их общее кратное т.е. (f,g)= [f,g]

Теорема 3. Для произвольных двух многочленов f(x) 0 P[x] и g(x) 0 P[x] наименьшее общее кратное существует в кольце P[x] и определяется однозначно, с точностью до постоянного множителя.

Доказательство:

Рассмотрим многочлен q(x)= , где наибольший общий делитель многочленов f(x) и g(x), а значит он делит и f(x) и g(x). Представим q(x) следующим образом q(x)= , отсюда видно, что

q(x)= . Значит q(x) является общим кратным многочленов f(x) и g(x)

Осталось доказать, что q(x) наименьшее общее кратное f(x) и g(x).

Рассмотрим теперь другое произвольное общее кратное многочленов f(x) и g(x).Обозначим его S(x); т.е. , это значит, что

, и поэтому S(x)=S₁(x)f(x), причём

=>

Теперь представим многочлен f(x) и g(x) в виде: где многочлены из P[x]. При этом =1. Значит, . Теперь представим P(x) в виде P(x)= т.к. и - взаимно простые, то

• Введём обозначение:

получим откуда т.е. Т.о., действительно q(x) есть НОК многочленов f(x) и g(x):

Если q₁(x) – другое НОК этих многочленов, то и , т.е. q(x) и q₁(x) ассоциированы в P[x] и поэтому отличаются лишь постоянным множителем.

Если приходится находить наибольший общий делитель нескольких многочленов , то нужно поступать следующим образом

находим , затем ищем , ,

Покажем, что - наибольший общий делитель многочленов

В самом деле, многочлен , и т.д., наконец Таким образом - общий делитель многочленов .Если теперь d(x) какой-нибудь общий делитель этих многочленов, то он является делителем многочленов вТогда он является общим многочленом .Таким образом многочлен делится на любой другой общий делитель данных многочленов => = .Ясно, что если какие-то два из многочленов - взаимно простые, то тогда наибольший общий делитель =1

Аналогичным способом находится и наименьшее общее кратное нескольких многочленов.