7. Неприводимые многочлены

Кольцо многочленов от одной переменной над полем - – это область целостности, Евклидово кольцо, кольцо главных идеалов.

Выясним, какие элементы области целостности являются неразложимыми (или простыми).

В соответствии с общей теорией, элемент области целостности является неразложимым (простым), если он не является делителем 1 или не имеет тривиальных делителей.

Переформулируем это определение применимо к кольцу . Для простого многочлена введем специальный термин неприводимого многочлена.

Определение 6. Многочлен , принадлежащий , называется неприводимым в кольце или над полем , если он не является const и не имеет в кольце делителей, отличных от 1 и многочленов вида , где .

Определение 7. Многочлен , принадлежащий , называется неприводимым над полем , если степень и если из равенства следует, что ст. или ст. , причем и .

Составные элементы области целостности называются приводимым в кольце (или над полем Р). Это еще можно выразить так:

Определение 8. Многочлен , принадлежащий , называется приводимым в кольце или над полем , если ст и существуют такие многочлены и , принадлежащие , что , причем ст и ст .

Так как из равенства следует, что ст ст. ст. , что ст и ст , тогда и только тогда, когда ст < ст и ст < ст .

Другими словами, многочлен приводим над полем , если его можно представить в виде произведения двух ненулевых многочленов из , степени которых меньше степени .

Таким образом, любой многочлен является либо приводимым, либо неприводимым в кольце многочленов .

Приводимость или неприводимость данного многочлена относительна, т. е. зависит от того, над каким полем этот многочлен рассматривается. Любой многочлен , рассматриваемый над полем , может быть рассмотрен и над полем , где - произвольное расширение поля . И значит, многочлен, неприводимый над полем , может оказаться приводимым над некоторым расширением поля .

Пример 9. Рассмотрим .

– неприводим над полем Q, так как его нельзя представить в виде произведения многочленов первой степени с рациональными коэффициентами;

– неприводим над полем R;

–приводим над полем С, так как .

Докажем, что – неприводим над R (методом от противного). Предположим, что – приводим над R, следовательно, , , . Предположим, что

,

,

чего не может быть по условию, следовательно, f - неприводим над R.

К многочленам нулевой степени (const≠0) понятие приводимости и неприводимости не применяются. Они в теории делимости многочленов играют такую же роль, как и числа ±1 в теории целых чисел.

Теорема 5. Многочлен первой степени над любым полем неприводим в кольце .

Доказательство:

Это утверждение очевидно, если учесть, что степень произведения многочленов равна сумме степеней сомножителей: если , где > и > .

Некоторые свойства неприводимых многочленов (которые являются конкретизацией для случая кольца общих свойств простых элементов в любой области целостности).

1. Если многочлен неприводим над полем , то неприводим будет многочлен , где с принадлежит (с – любая константа ≠0).

2. Если многочлен неприводим над полем , а – любой многочлен из кольца , следовательно, либо делится на , либо .

3. Если неприводимый многочлен из кольца делится на другой неприводимый многочлен , то они совпадают с точностью до постоянного множителя, т.е. .

Свойства 1 и 2 не требуют доказательств, т. к. они воспроизводят для кольца свойства простых элементов любой области целостности, доказанные ранее. Для доказательства свойства 3 заметим следующее: по условию, многочлены и имеют общий делитель ненулевой степени, следовательно, они не являются взаимно простыми. Т.к. – неприводимый многочлен, то (по свойству 2) должен на него делиться. Значит, многочлены и делятся друг на друга и являются, поэтому ассоциированными, т.е. отличаются только множителем нулевой степени. Итак, неприводимость и приводимость многочлена существенно зависит от того, над каким полем этот многочлен рассматривается. В отличие от этого, взаимная простота двух многочленов, а значит и их НОД не зависят от того, над каким полем рассматриваются эти многочлены, а вполне определяются данными многочленами, независимо от того, к какому кольцу многочленов мы их относим.

Пример 10.

Эти два многочлена взаимно просты в кольцах R[x], Q[x] и C[x], т.е. эти многочлены вполне определяются данными многочленами, независимо к какому кольцу многочленов они относятся.

Иначе говоря, НОД во всех случаях один и тот же (=1), хотя делители различны в различных кольцах многочленов.

Это объясняется тем, что НОД находится с помощью рациональных действий над данными многочленами; и поэтому его коэффициенты вполне определяются коэффициентами этих многочленов и принадлежат тому же полю. Из этих соображений ясно, что делимость или не делимость на также не зависит от того поля, над которым эти многочлены рассматриваются.