Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения

1. Докажите, что в любой группе подгруппа индекса 2 обязательно нормальна.

2. Докажите, что все группы порядка 4 абелевы и с точностью до изоморфизма исчерпываются группами перестановок или же группами матриц L₁ и L₂, где

Лекция 3 Кольцо. Область целостности. Поле частных

1. Элементарные сведения о кольцах.

2. Кольца с единицей.

3. Делимость нуля. Область целостности.

4. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения.

1. Содержание

   • Алгебра
   • График учебного процесса
   • III семестр
   • IV семестр
   • 1. Цели и задачи дисциплины, место в учебном процессе, требования к уровню содержания дисциплины.
   • 2. Технологическая карта дисциплины
   • 3. Содержание дисциплины
   • Самостоятельная работа (темы , выносимые на срс и методическая поддержка срс)
   • Литература для самостоятельной работы
   • 4. Организация текущего и промежуточного контроля знаний
   • 5. Методические рекомендации преподавателю
   • 6. Работа с ресурсами Internet
   • 7. Материальное обеспечение дисциплины
   • 8. Методическое обеспечение дисциплины:
   • Глоссарий
   • Вопросы, выносимые на экзамены
   • III семестр
   • IV семестр
   • Методические рекомендации по организации внеаудиторной и аудиторной самостоятельной работы студентов
   • Контрольно - измерительные материалы
   • III семестр Модуль 1
   • Модуль 2 Контрольная работа по теме «Многочлены от одной переменной»
   • IV семестр Модуль 1 Тест по теме «Многочлены над полем рациональных чисел» для межсессионного учета знаний
   • Контрольная работа по теме «Многочлены над полями рациональных, действительных и комплексных чисел»
   • Модуль 2 Контрольная работа по теме «Расширения полей и задачи, связанные с этим»
   • Методические указания по подготовке практических занятий
   • Методические рекомендации по выполнению курсовых работ
   • Темы курсовых работ
   • 1. Вопросы делимости и решения уравнений в кольце целых чисел.
   • . Программа итоговой государственной аттестации студентов
   • Группы и подгруппы
   • Группа подстановок
   • Подгруппы
   • Циклические группы
   • Разложение группы по подгруппе
   • 6. Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
   • Нормальные делители. Фактор - группы.
   • 1. Нормальные делители
   • 2. Фактор – группы
   • Гомоморфизмы групп
   • Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
   • Элементарные сведения о кольцах
   • Кольцо с единицей
   • Делители нуля. Область целостности
   • Поле частных
   • Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
   • Гомоморфизмы колец
   • Понятие идеала. Примеры
   • Операции над идеалами
   • Сравнения и классы вычетов по идеалу. Фактор – кольцо
   • Гомоморфизм колец. Теорема о гомоморфизмах
   • Характеристика кольца с единицей
   • Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
   • Делимость в области целостности
   • 2. Кольцо главных идеалов
   • Евклидовы кольца.
   • Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
   • 1. Многочлены над полем
   • 2. Кольцо многочленов как евклидово кольцо
   • 3. Техника деления с остатком. Схема Горнера
   • 4. Теорема Безу
   • 5. Наибольший общий делитель. Алгоритм Евклида
   • 6.Наименьшее общее кратное
   • 7. Неприводимые многочлены
   • 8. Каноническое разложение многочлена
   • 9. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы
   • Комплексных чисел
   • 1. Вводные замечания
   • 2. Свойства модуля многочлена
   • 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
   • 4. Разложение многочлена над полем с в произведение линейных множителей
   • 5. Разложение многочленов над полем r в произведение неприводимых множителей
   • 6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
   • IV семестр
   • Приводимость и неприводимость многочленов над полем действительных, комплексных и рациональных чисел
   • Рациональные корни многочлена с рациональными коэффициентами
   • Понятие алгебраического числа
   • 1. Вводные замечания
   • 2. Свойства модуля многочлена
   • 3. Основная теорема алгебры комплексных чисел
   • 4. Разложение многочлена над полем с
   • 5. Разложение многочленов над полем r
   • 6 Задачи и упражнения для самостоятельного выполнения
   • 1. Алгебраические числа.
   • 2. Простое алгебраическое расширение поля.
   • 3. Уничтожение иррациональности в знаменателе.
   • 4. Конечные расширения полей.
   • 6. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы.
   • Лекции 7-8
   • Поле алгебраических чисел
   • Понятие разрешимости в квадратных радикалах
   • Определение 1. Алгебраическое уравнение
   • Связь с расширением числовых полей
   • 4. Признаки того, что число выражается в квадратных радикалах.
   • 5. Общий критерий разрешимости в квадратных радикалах
   • 6. Примеры геометрических задач, сводящихся к уравнениям, неразрешимым в квадратных радикалах
   • Задача об удвоении куба
   • Задача о трисекции угла
   • Задача о квадратуре круга
   • 7. Вопросы и упражнения для самостоятельной работы