Понятие идеала. Примеры

В теории колец особую роль, аналогичную роли нормальных делителей в теории групп, играют подкольца, называемые идеалами.

Определение 1. Непустое подмножество J кольца К называется левым (правым) идеалом кольца, если J является подгруппой аддитивной группы кольца К и если для любых элементов и произведение принадлежит J.

Подмножество J кольца К, которое одновременно является левым и правым идеалом, называется двусторонним идеалом или просто идеалом кольца К.

В коммутативном кольце каждый левый и каждый правый идеал является, очевидно, двусторонним идеалом.

Из определения 1 следует, что любой идеал кольца (левый, правый, двусторонний) является подкольцом кольца К. Кроме того заметим, что идеал – это подмножество кольца, а значит можно говорить об отношении включения между идеалами данного кольца К.

Пример 1. Каждое кольцо является, очевидно, своим двусторонним идеалом. Этот идеал называется единичным. В каждом кольце нулевое подкольцо является идеалом, он называется нулевым идеалом и обозначается 0.

Единичный идеал, конечно, содержит любой идеал J этого кольца, а нулевой идеал 0 содержится в каждом идеале кольца К. Следовательно, в смысле отношения включения единичный идеал – самый большой, а нулевой – самый меньший среди идеалов кольца К.

Пример 2. Пусть К – некоторое кольцо, а – любой элемент из кольца. Покажем, что множество Ка всех элементов вида , где х – любой элемент кольца К, является левым идеалом, а множество аК всех элементов вида ах – правым идеалом, и множество

,

Является двусторонним идеалом кольца К.

Рассмотрим любые два элемента и множества. Тогда – противоположный элемента xa, очевидно, что , т.к. если , то и . Поэтому множество Ка является подгруппой аддитивной группы кольца К.

Для любых элементов и произведение . Следовательно, Ка – левый идеал кольца К. Аналогично рассуждая, можно показать, что множество аК – правый идеал К, а Ua – двусторонний идеал кольца К. Если кольцо К – коммутативное, то, очевидно . Заметим, что если в кольце К нет единицы, то каждый из идеалов Ка, аК, Ua может не содержать а.

Пример 3. Пусть К – некоторое коммутативное кольцо и а – любой элемент этого кольца. Множество элементов вида xa+na, где х – любой элемент кольца К, а n – любое целое число, является идеалом кольца К, в этом легко убедиться, рассуждая по аналогии с рассуждениями в примере 2. Этот идеал называется главным идеалом порожденным элементом а, и обозначается (а). Среди идеалов которые содержат элемент а, главный идеал (а) является в смысле включения наименьшим. Убедимся в этом. Действительно, каждый идеал, который содержит а, содержит все кратные ха и все суммы , а значит и все суммы xa+na, т.е. содержит идеал (а).

Если в кольце К есть единица е, то (а)=Ка. Действительно, из определения идеала (а) следует, что . С другой стороны , поэтому . Следовательно, . Например, главный идеал (а) кольца Z состоит из всех чисел, кратных числу а.

Заметим, что нулевой идеал 0 кольца К является главным идеалом (0). Если в кольце К есть единица е, то (е) = К, и единичный идеал есть главный идеал (е).

Пример 4. Аналогично тому, как был определен главный идеал (а) коммутативного кольца К, определим понятие идеала, порожденного несколькими элементами . Множество элементов вида , где – любой элемент из кольца К, – любое целое число, является идеалом кольца К. Этот идеал обозначается ; множество могут существовать и другие базисы, кроме базиса , причем некоторые из них могут иметь меньше чем s элементов.