4. Методика вивчення показникової, логарифмічної і степеневої функцій.

Показникова функція означається так: Показниковою називається функція, задана рівністю де а>0 і . У зв'язку з цим виникає запитання: навіщо потрібно обмеження ? Припустимо, що основа а=1, тоді степінь а^х при будь-якому значення у=1, і тоді він не залежить від х. Коли під функцією розуміли тільки залежну змінну величину, таке обмеження було необхідне. Показникову функцію можна задати графічно за допомогою функціональної шкали. При першому ознайомленні з показниковою функцією бажано розглядати такі властивості: 1). Обл.. визначення - R.. 2). Множина значень - R+. 3). Показникові функція зростає при а>1 і спадає при а<1.

На уроці слід побудувати кілька графіків при різних значеннях а.

Поняття логарифмічної функції. Спробуємо знайти форму­лу функції, оберненої до показникової функції у = а^х.

Функція у=а^х зростаюча при а > 1 і спадна при 0<а<1 За достатньою умовою існування оберненої функції до даної функція у=а^х має обернену на області визначення D(f)=R (відповідно область значень цієї функції E(f) = (0; + )).

Розв'яжемо рівняння у = а^х з двома невідомими відносно невідомої х. Оскільки х є показником степеня а^х, то, застосовуючи означення логарифма, матимемо х=log_а у = ф (у). Діста­ли формулу функції, оберненої до функції у=а^х=f(х).

3. Поміняємо позначення аргументу і функції у формулі оберненої функції. Дістанемо y=log_аx=ф (x). — формулу функції, оберненої до функції у=а^х у прийнятих позначеннях аргументу і функції. Одержана обернена функція дістала наз­ву логарифмічної функції.

Логарифмічною називається функція у=1оg_aх, де а > 0 і а ≠1, обернена до показникової у=а^х.

Відомо, що область визначення і область значень взаємно обернених функцій міняються множинами. Тому D(φ) =(0;+ ), E(φ) =R.

Графік функції у = log_аx можна дістати з графіка функції у = а^х, симетрично відобразивши останній відносно прямої у = х. Для цього достатньо для кожної точки М(с;d) графіка у=а^х побудувати точку М(d; с), симетричну їй відносно прямої у= х.

Властивості логарифмічної функції.

1. Область визначення логарифмічної функції — множина всіх додатних чисел.

2. Область значень логарифмічної функції — множина всіх дійсних чисел.

3. Логарифмічна функція на всій області визначення R₊ зростає, якщо а > 1 і спадає, якщо 0 < а < 1.

1. Для будь-якого а > 0 (а≠1) виконуються рівності:

а)log_al = 0;б)log_aa= 1;

в) log_a (xy) = log_a x + log_a у, якщо x > 0, у > 0;

г) , якщо x > 0, у >0;

ґ) для будь-якого числа х > 0 і будь-якого pєR

З окремими випадками степеневої функції учні ознайомлювалися в 7 і 8 класах (у = х², у =х³ , у = ). Однак на тому етапі навчання термін «степенева функція» і відповідне означення ще не вводились, оскільки ще не відбулось розширення поняття степеня до степеня з дійсним показником.

При стало­му дійсному показнику р і змінному додатному х маємо функцію у = х^р, яку називають степеневою.

Властивості степеневої функції залежать від заданого значення р.

Доцільно розглянути різні можливі множини значень.

І. Нехай р — натуральне число.

Назвімо властивості функції.

1. Область визначення функції - множина всіх дійсних чисел. Область значень залежить від парності чи непарності р. Якщо р — парне, то область значень у=х^р є множиною невід'ємних чи­сел, а якщо непарне, то – множиною R всіх дійсних чисел.

2. Функція парна при парному р і непарна - при непарному/?.

3. При х = 0 і у = 0, при х = 1 і у = 1, тобто всі графіки степене­вих функцій проходять через початок координат і точку (1; 1).

4. При парному p функція зростає на проміжку [0; + ) і спадає на проміжку (- ; 0].

При непарному p функція зростає на всій області визначення.

5. При парному р графіки степеневих функцій схожі з графі­ком функції у = x², а при непарному - з графіком функції у=x³.

II. Нехай p - ціле від'ємне число.

У цьому випадку функція у = х^p визначена на множині всіх дійсних чисел, крім х=0. Коли p - парне від'ємне число, множиною значень функції є множина всіх додат­них чисел. Функція парна на області визначення і графік, скла­даючись з двох віток, симетричний щодо осі у; y=x^p зростає за x (- ;0) і спадає за х (0; + ). Коли р - непарне від'єм­не число, множиною значень функції є об'єднання

двох числових проміжків (- ; 0) і (0; + ). Функція непарна, спадна на всій області визначення, графік її симетричний стосов­но початку координат.

III. Нехай р - дробове додатне число, тобто р = , де т і п - натуральні числа.

З урахуванням означення степеня з дробовим показником сте­пенева функція матиме вигляд у=х = . 3 окремим випадком такої функції (у= ) учні ознайомились в курсі алгебри 8 класу.

При р = , р = степенева функція має вигляд у= , у= відповідно. Графіки двох останніх функцій схожі за формою з графіком функції y= . Неважко довести, що всі функції зроста­ючі, їхня область визначення залежить від показника кореня. Для парних п функція визначена лише для невід'ємних значень х, для непарних - за будь-якого дійсного х. У загальному випадку функ­ція у= розглядається лише при х 0.

Варто звернути увагу учнів на те, що функції у=х² і y= при х 0, у=х^з і у= при х R - взаємно обернені.