УМКД алгебра, 2курс

Кольцо с единицей

Из определения кольца не вытекает существование или отсутствие в нем единицы е. Но, как было доказано в алгебре на I курсе, если в кольце К единичный элемент существует, то только один. В нулевом кольце , состоящем только из одного нуля, элемент 0 одновременно является и единицей, т.к. .

Определение. Нулевое кольцо К, в котором есть единичный элемент е, называется кольцом с единицей.

Примерами колец с единицей являются: кольцо целых чисел Z; кольцо рациональных чисел Q; кольцо действительных чисел R; кольцо комплексных чисел С; кольцо матриц n-го порядка над полями R, Q, C, единицей этих колец является матрица

Примерами кольца, в котором нет единицы, служит кольцо целых чисел, кратных произвольно выбранному натуральному числу m>1; в частности, нет единицы в кольце четных целых чисел.

Пусть К – произвольное кольцо с единицей е. Для всякого отличного от нуля элемента а К справедливы равенства

Отсюда следует, что .

Если для элемента а К в кольце К существует обратный элемент а^-1, то только один. Элемент е является обратным для самого себя. Из равенства следует, что элемент – е также является обратным для самого себя. Элемент 0 не имеет обратного элемента, т.к. для любого а К. Если для а К в кольце К существует обратный элемент а^-1, то а , по определению делителей элемента кольца, является делителем e, т.к. .

Поэтому можно принять такое определение.

Определение 2. Элемент а, для которого в кольце К существует обратный элемент а^-1, называется обратимым или делителем единицы.

Пример. Кольцо Z является самым простым примером коммутативного кольца, в котором только 1 и -1 являются делителями единицы.

Теорема 3. Множество К^* всех делителей единицы кольца К является группой по умножению.

□ Пусть элементы , т.е. являются делителями единицы е. Значит и , а это значит, что а^-1 и ab тоже являются делителями е, а, значит, содержатся в К^*, е также содержится в К^*. Поэтому К^* является мультипликативной группой.

Группа К^* называется группой делителей единичного элемента, или группой обратимых элементов кольца К.■

Содержание