Элементарные сведения о кольцах

Вспомним элементарные сведения о кольцах, о которых шла речь на первом курсе.

Определение. Кольцом называется непустое множество К, в котором определены две бинарные операции – сложение и умножение, причем по сложению К является абелевой группой – аддитивной группой кольца К, а операция умножения – ассоциативна и связана дистрибутивными законами с операцией сложения.

Если операция умножения в кольце К коммутативна, то кольцо называется коммутативным.

Примерами коммутативных колец является: множество целых чисел Z; множество целых чисел, кратному некоторому отличному от 1 натуральному числу m (в частности, множество 2Z четных чисел); множество рациональных чисел Q; множество действительных чисел R; Множество комплексных чисел C; множество всех чисел вида , где ; множество всех действительных функций от действительной переменной х, непрерывных на [0, 1]; кольцо Z_m классов вычетов по модулю m; кольцо скалярных матриц n-го порядка над полем R.

Некоммутативными кольцами являются: кольцо Q_n квадратных матриц n –го порядка с рациональными элементами; кольцо R_n матриц n-го порядка над полем R; кольцо C_n матриц n-го порядка над полем С.

Определение. Элемент , где К – произвольное кольцо, называется левым (правым) делителем элемента , если существует элемент такой, что ; при этом говорят также, что а является левым (правым) кратным элемента b.

В коммутативном кольце понятие левого делителя (кратного) совпадает с понятием правого делителя (кратного). Поэтому в этом случае говорят просто «делитель», «кратное».

Замечание 1. Если в кольце нет единицы, то элемент а может быть делителем самого себя. Например, в кольце частных целых чисел ни одно число не является делителем самого себя.

Замечание 2. В кольце без 1 элемент na, где , n – некоторое целое число, не будет, вообще говоря, кратным элемента а. Например, в кольце 3Z элемент не является кратным элементу 3, т.к. .

Замечание 3. Если в кольце К есть единичный элемент е=1, то для . Значит, na является кратным элемента а.

Определение. Подмножество К^/ кольца К называется подкольцом кольца К, если К^/ является кольцом относительно операций сложения и умножения, определенных в кольце К.

Примерами подколец являются: кольцо четных чисел – подкольцо кольца целых чисел Z; кольцо Z подкольцо кольца рациональных чисел Q; кольцо Q и кольцо чисел вида , где – подкольца кольца действительных чисел; кольцо матриц Q_n n-го порядка над полем Q – подкольцо кольца R_n; кольцо R_n – подкольцо кольца C_n; кольцо скалярных матриц – подкольцо кольца R_n.

В каждом кольце К, очевидно, есть следующие подкольца: само кольцо К и нулевое подкольцо, которое состоит только из нуля кольца К. Эти подкольца называются тривиальными.

Выясняя, является ли данное подмножество К^/ кольца К подкольцом этого кольца, обычно используют теорему.

Теорема 1. Для того, чтобы непустое подмножество К^/ кольца К было ее подкольцом необходимо и достаточно, чтобы сумма a+b подмножества К^/ содержалась в К^/.

Определение. Пусть К и К^/ – два кольца. Кольца К и К^/ называются изоморфными, если существует такое бесконечное отображение кольца К на кольцо К^/, что .

Справедливо утверждение.

Теорема 2. Если множество F, в котором определены две бинарные операции – сложение и умножение. Изоморфно отображается на некоторое кольцо К, то множество F также является кольцом относительно определенных в нем операций.