7.5.Способ выравнивания эмпирических рядов

Из всех способов выравнивания эмпирических рядов наиболее точен

способ наименьших квадратов. Его предложил К.Гаусе в 1806 г. на том основании, что сумма квадратов отклонений вариант от средней арифметической есть величина наименьшая. Это первая теорема о свойствах средней арифметической. А так как зависимость между переменными Х и У выражается обычно рядом колеблющихся величин, то указанное свойство используется для нахождения наиболее вероятных усредненных значений этих величин. В этом и заключается сущность метода наименьших квадратов, который в равной мере пригоден для выравнивания самых различных зависимостей между переменными величинами и нахождения параметров уравнений, характеризующих эти зависимости. Во всех случаях обработка эмпирических данных по способу наименьших квадратов производится следующим образом:

1. Исходя из геометрического места точек двух переменных У и Х, подбирают соответствующее уравнение, которое достаточно точности выражает зависимость между переменными величинами.

2. В исходное уравнение подставляют попарно эмпирические данные и получают систему нормальных уравнений.

3. Решают совместно полученные уравнения и определяют их параметры.

4. Подставив найденные значения параметров в общее уравнение функции, получают эмпирическое уравнение, выражающее зависимость между переменными Х и У.

5. Подставляя в эмпирическое уравнение значения одной из переменных Х или У, находят соответствующие средние значения другой переменной величины. Таким образом, получается усредненный, или выровненный, ряд значений, называемый также теоретическим рядом развития. Рассмотрим применение метода наименьших квадратов к различным случаям зависимости между переменными величинами Х и У.

Прямолинейная зависимость

На рисунке 7.1приведена прямолинейная зависимость междупроизводительностьюи стоимостью продукции. Эта зависимость может быть описана формулой прямолинейной зависимостью

С = а*П+в (7.18)

где: С – себестоимость продукции;

П – производительность труда;

а,в – постоянные коэффициенты.

По данным приведенным в таблице.7.1 суммируем значения исходных

величин:

12= а•10+в

10= а•12+в

9= а•13+в

8= а•15+в

(7.19)

6= а*17+в

6= а*20+в

5= а*21+в

4= а*24+в

Сумма 67= а•148+в•9

Суммарное уравнение(7.19) имеет два неизвестных постоянных коэффициента. Для нахождения неизвестных надо еще одно уравнение. Для получения второго уравнения умножаем каждое уравнение(7.17) на соответствующее значение производительности, затем суммируем их и получим второе суммарное уравнение:

120=а•100+в•10

120=а•124+в•12

117=а•169+в•13

120=а•225+в•15

(7.20)

102=а*289+в*17

120=а*400+в*20

105=а*441+в*21

96=а*576+в*24

Сумма 1012=а•2580+в•148

После решения системы уравнений:

(7.21)

1012=а•2580+в•148

были получены значения постоянных коэффициентов:

а=-0,61 и в=17,52

и уравнение (7.18)принимает следующий вид:

С = 178,52 – 0,63П (7.22)

Рассчитанные по формуле(7.22) значения стоимостьпоказана на рисунке7.1(сплошная линия).

Криволинейная зависимость

Аналогичным образом, как и для прямолинейной зависимости, определяются постоянные коэффициенты для уравнений более высокого порядка. В качестве примера рассмотрим расчет постоянных коэффициентов для уравнения изменения стоимости продукции по годам – формула (6.26). Так как в этой формуле 3 постоянных коэффициентов должно быть составлена система из 3^-хуравнений:

x=at²+bt+cn

(7.23)

x³= at²x²+btx²+cx²

Для удобства вычисления следует составить таблицу. По данным приведенным в таблице 6.9 (колонки 1и2) составлена следующая вспомогательная таблица(табл. 7.4)

Таблица 7.4. Расчет значений постоянных коэффициентов

С учетом рассчитанных значений показателей (табл. 7.4) система уравнений (7.20) принимает следующий вид :

50,4=а•55+в•15+5с

196,18=а•382,3+в•99,9+50,4с (7.24)

1335,5=а•2724,4+в•691,5+196,18с

В результате решения системы уравнений (7.24) получаем следующие значения постоянных коэффициентов:

а=-0,16, в=2,26, с=1,04

и первое уравнение системы (7.23) принимает следующий вид:

х=-0,16t²+2.26t+1.04 (7.25)

Рассчитанные по формуле (7.25) значения стоимости продукции приведены в таблице 6.9 (колонка 5) и показаны на рисунке 6.5 (сплошная линия).

Степенная (показательная) зависимость

Степенные функции:

у=аb^х(7.26)

или

у=ае^хb(7.27)

после их логарифмирования принимают следующий вид:

ln y=ln a+x ln b (7.28)

или

ln y=ln a+x b (7.29)

Зависимости (7.28) и (7.29) имеют вид уравнения первогопорядка и определение значений постоянных коэффициентов(lna,lnbиb)проводится по методике определение коэффициентов при прямолинейной зависимости.