Определитель Вронского.

Теорема 1:

Если функции y₁(x),…,y_n(x)(все функции и их производные непрерывны и существуют до n-1 го порядка) линейно зависимы, то =0.

Доказательство:

Так как функции линейно зависимы, то после дифференциирования получим:

, Эта система имеет ненулевое решение  когда определитель этой системы равен 0. А этот определитель и есть определитель Вронского.

Если W0, то функции линейно независимы.

Пример 1:

Покажем, что если определитель равен нулю, то функции необязательно линейно зависимы. ,

Рассмотрим произвольную точку x₀>0.

Теорема 2: Пусть решения уравнения и тогда

Следствие: если хотя бы в одной точке (a,b) тогда  x (a,b) W(x)0 и функции линейно независимы.

Доказательство:

Так как W=0 в x₀, то так как определитель =0 то его столбцы линейно зависимы (их линейная комбинация равна 0). Значит

Рассмотрим функцию y= L(y)=0, т.е. y- решение дифференциального уравнения. С условиями:

Решение удовлетворяет (1) но начальным условиям удовлетворяет только одно решение (по теореме Коши о существовании единственного решения). y(x)  0 и – линейно зависимы => W = 0.

Пример 1:

y⁽ⁿ⁾=0 Решения:y₁=1, y₂=x, y₃=x²,…,y_n=x^n-1

следовательно, функции линейно независимы.

Пример 2:

Значит функции sinx и cosx линейно независимы.

Пример 3:

,