Аксиомы линейного векторного пространства

V5: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов.

V6: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел.

V7: Операция умножения вектора на число ассоциативна.

V8: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора .

Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.

Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор , противоположный к вектору , мы получим .Таким образом, , т.е.

Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .

Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е. .

Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных , причем

Аксиомы размерности

D1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если .

D2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .

Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.

Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.

Числа x называются координатами вектора в базисе .

Аксиомы скалярного произведения векторов

Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:

E1: Скалярное произведение векторов коммутативно.

E2: Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов

E3: Ассоциативность скаляра относительно произведения векторов

.

E4. и .

Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .

Аксиомы откладывания векторов

Пятая группа аксиом описывает операцию откладывания вектора от точки, при этом любым упорядоченным двум точкам А и В однозначно сопоставляется вектор : , причем точка А называется начальной точкой вектора , а В - конечной. Для операции откладывания вектора от точки выполняются следующие аксиомы:

T1: Для каждой фиксированной точки А и каждого вектора существует единственная точка В такая, что .

T2: Для любых трех точек А, В, С справедливо равенство

Требования, предъявляемые к системе аксиом

аксиома вектор произведение скалярный

Основное требование, которое предъявляется к системе аксиом - непротиворечивость. Это требование означает, что, во-первых, система аксиом не должна содержать двух каких-либо взаимоисключающих друг друга предложений. Во-вторых, в следствиях из системы аксиом не должно содержаться двух теорем, противоречащих друг другу.

Для выполнения первого условия необходимо проверить систему аксиом на наличие взаимоисключающих друг друга предложений. Второе условие проверить невозможно, так как число теорем, выведенных из данной системы аксиом, неограниченно. Поэтому, для того чтобы убедиться в непротиворечивости системы аксиом, надо построить модель этой системы.

Теорема: система аксиом Вейля непротиворечива, если непротиворечива арифметика действительных чисел.

Для доказательства построим математическую модель. Введем основные объекты:

векторы;

точка.

Введем основные отношения:

сложение двух векторов;

умножение вектора на скаляр;

скалярное произведение векторов;

бинарное отношение, принадлежность упорядоченной пары точек и вектора.

Убедимся в справедливости аксиом:

V1.

V2.

V3.

V4.

V5.

V6.

V7.

V8.

V1-V8-выполнены.

D1.

D2.

D1-D2-выполнены.

E1.

E2.