Аксиоматика Вейля
IV. Аксиомы откладывания векторов.
Аксиомы линейного векторного пространства
Первая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией сложения векторов, позволяющая любым двум векторам и отнести третий вектор - их сумму так, что выполняются аксиомы:
V1: Сложение векторов коммутативно.
V2: Сложение векторов ассоциативно.
V3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство.
V4: Для существует противоположный вектор такой, что .
Вторая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу однозначно отнести вектор , называемый произведением вектора на число , так что выполняются аксиомы:
Аксиомы линейного векторного пространства
V5: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов.
V6: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел.
V7: Операция умножения вектора на число ассоциативна.
V8: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора .
Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.
Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор , противоположный к вектору , мы получим .Таким образом, , т.е.
Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .
Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е. .
Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных , причем
Аксиомы размерности
D1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если .
D2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .
Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.
Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.
Числа x называются координатами вектора в базисе .
Аксиомы скалярного произведения векторов
Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:
E1: Скалярное произведение векторов коммутативно.
E2: Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов
E3: Ассоциативность скаляра относительно произведения векторов
.
E4. и .
Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .