IV. Аксиомы откладывания векторов.

Аксиомы линейного векторного пространства

Первая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией сложения векторов, позволяющая любым двум векторам и отнести третий вектор - их сумму так, что выполняются аксиомы:

V1: Сложение векторов коммутативно.

V2: Сложение векторов ассоциативно.

V3: Существует нулевой вектор такой, что для справедливо равенство.

V4: Для существует противоположный вектор такой, что .

Вторая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией умножения вектора на число, при этом каждому вектору и числу однозначно отнести вектор , называемый произведением вектора на число , так что выполняются аксиомы:

Аксиомы линейного векторного пространства

V5: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению векторов.

V6: Операция умножения дистрибутивна по отношению к сложению чисел.

V7: Операция умножения вектора на число ассоциативна.

V8: Операция умножения вектора на единицу не меняет вектора .

Теорема 1.5. Произведение любого вектора на число 0 равняется нулевому вектору.

Доказательство. С одной стороны, имеем . С другой стороны, прибавляя почленно к обеим частям полученного равенства вектор , противоположный к вектору , мы получим .Таким образом, , т.е.

Теорема 1.6. Противоположный вектор для вектора равен , т.е. .

Теорема 1.7. Произведение вещественного числа на нулевой вектор равняется нулевому вектору, т.е. .

Система векторов называется линейно зависимой, если равенство выполняется для некоторых постоянных , причем

Аксиомы размерности

D1: Существует три линейно независимых вектора , т.е. если .

D2: Любые четыре вектора линейно зависимы, т.е. если .

Всякая система трех линейно независимых векторов называется базисом данного трехмерного векторного пространства.

Теорема: Всякий вектор векторного пространства можно разложить, и притом единственным образом, по векторам базиса.

Числа x называются координатами вектора в базисе .

Аксиомы скалярного произведения векторов

Четвертая группа аксиом описывает отображение , называемое операцией скалярного умножения векторов, при этом любым двум векторам и однозначно сопоставляется число , называемое скалярным произведением двух векторов, так что выполняются аксиомы:

E1: Скалярное произведение векторов коммутативно.

E2: Дистрибутивность скалярного произведения векторов относительно сложения векторов

E3: Ассоциативность скаляра относительно произведения векторов

.

E4. и .

Скалярное произведение векторов позволяет определить число называемое скалярным квадратом вектора .