1.9. Действия над векторами

n - мерным вектором называется упорядоченная система n чисел:

где а_i (i=1,2,...,n) есть компоненты вектора .

Два вектора и называются равными, если равны их соответствующие компоненты (координаты):

, где i=1,2,...,n.

Сумой двух векторов и называется вектор , компоненты которого равны суммам соответствующих компонент и :

, где i=1,2,...,n.

Аналогично определяется и разность векторов.

Чтобы вектор умножить на постоянное число , необходимо каждую его компоненту умножить на это число.

Модуль (или длина вектора) равен арифметическому значению корня квадратного из суммы квадратов соответствующих координат:

Скалярным произведением двух векторов и называется произведение их длин, умноженных на косинус угла между векторами:

где а - угол между векторами и ,

Упражнения.

1.9.1. Даны векторы = (3, 4) и = (4, 3).

Найти +, -, 3+2, 2-4,

и угол между данными векторами. Полученные ответы проверить графически.

1.9.2. Выполнить те же действия, что в задаче 1.9.1, над векторами =(4, 2) и =(1,2).

Найти скалярное произведение векторов, угол между ними, а также и :

1.9.3. =(3, 4, 0, 2) и =(0, 1, -2, 2).

1.9.4. =(2, 1, 3, 1) и =(1, 2, 0, 1).

1.9.5. =(2, 0, 1, 3, -1) и =(1, 1, 0, -1, 1).

1.9.6. Из склада в магазин №1 было перевезено 30 т груза по 20 коп. за тонну, в магазин №2 - 50 т по 2 коп. за тонну, в магазин №3 - 15 т по 30 коп. и в магазин №4 -100 т по 5 коп. Записать в виде векторов перевезенный груз и соответствующие ему цены перевозок. С помощью скалярного произведения найти общие затраты на перевозку.