1.3. Вычисление обратной матрицы

Обратную матрицу имеет только квадратная неособенная матрица, т.е. матрица, определитель которой не равен нулю. Обратной матрицей А^-1 к матрице А называется такая матрица, которая при умножении на данную матрицу слева или справа дает единичную матрицу, т.е.;

А^-1·А = А·А^-1=Е.

Для вычисления обратной матрицы нужно поступить следующим образом:

1) вычислить определитель данной матрицы ; если он не равен 0, то обратная матрица существует;

2) найти присоединенную матрицу (А*) к данной матрице (А):

а₁₁ а₁₂ … а_1n А₁₁ А₂₁ … А_n1

_A= a₂₁ a₂₂ … a_{2n A*=} А₁₂ А₂₂ … А_n2

. . … . , . . … .

a_n1 a_n1 … a_nn А_1n А_2n … А_nn

3) умножить присоединенную матрицу на число обратное определителю:

Обратную матрицу можно также найти, используя метод Жордана-Гаусса. Для этого к матрице А приписывается единичная матрица того же порядка. После умножения обеих частей полученной матрицы на А^-1 будем иметь:

Е·А^-1

Первая часть этой матрицы есть матрица Е, вторая часть А^-1. Следовательно, матрицу надо преобразовать так, чтобы в левой части получилась матрица Е, тогда обратная матрица будет в правой части преобразованной матрицы.

Пример. Найти обратную матрицу к матрице:

A=

Решение. Вычислим определить матрицы А:

= -2+8-8+12=10.

Следовательно, обратная матрица для матрицы А существует. Составим присоединенную матрицу. Для этого найдем к каждому элементу матрицы алгебраическое дополнение:

А₁₁=(-1)¹⁺¹· = -5; А₁₂=(-1)¹⁺²· = 4;

А₁₃=(-1)¹⁺³ · = 8; А₂₁=(-1)²⁺¹ · = 5;

А₂₂=(-1)²⁺² · = -2; А₂₃=(-1)²⁺³ · = -4;

А₃₁=(-1)³⁺¹· = 5; А₃₂=(-1)³⁺² · = 0;

А₃₃=(-1)³⁺³ · = -10;

Присоединенная матрица имеет вид:

_A*=

Разделив каждый элемент А* на =10 получим обратную матрицу:

А^-1=

Можно проверить правильно ли нашли обратную матрицу, исходя из соотношения: А^-1.А = А ^. А^-1=E.

Найдем теперь обратную матрицу, используя метод Жордана-Гаусса. Составим матрицу и будем преобразовывать ее так, чтобы вместо А получить Е:

В результате таких преобразований во второй части матрицы получили обратную:

А^-1 =

Упражнения.

Найти обратные матрицы для матриц:

1.3.1. 1.3.2. 1.3.3. 1.3.4.

1.3.5. 1.3.6. 1.3.7.

1.3.8. 1.3.9. 1.3.10.

1.3.11. 1.3.12. 1.3.13.

1.3.14. 1.3.15. 1.3.16.

1.3.17. 1.3.18. 1.3.19.

1.3.20.