1.8. Однородные системы линейных уравнений

Однородной называется система линейных уравнений, свободные члены которой равны нулю.

(1)

Очевидно, что система однородных уравнений (1) всегда совместна, так как имеет нулевое решение . Это следует также из теоремы Кронекера - Капелли: в случае однородной системы .

При решении системы однородных уравнений можно поставить вопрос: при каком условии однородная система (1) является неопределенной, т.е. имеет ненулевые решения. Ответ на этот вопрос дает следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы система (1) имела ненулевые решения необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие r(A)<n.

Действительно, если r(A)=n, то система имеет единственное и, значит, только нулевое решение: .

Если r(A)<n, то система (1) является неопределенной (несовместной она быть не может) и, значит, имеет бесчисленное множество решений.

Пусть - какое-нибудь ненулевое решение однородной системы (1). Представим это решение как вектор-строку . Тогда тоже, очевидно, будет решением системы (1). Далее, если какое-то другое решение системы (1), отличное от , то при любых и линейная комбинация

данных решений тоже будет решением системы, так как если

то и .

Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (1) тоже будет ее решением.

Определение. Линейно независимая система решений системы (1) называется фундаментальной, если каждое решение системы (1) является линейной комбинацией решений .

Теорема. Если r(A)<n, то система (1) обладает фундаментальными системами решений. Рассмотрим систему уравнений

(2)

и соответствующую ей систему однородных уравнений

(3)

Пусть - какое-то решение системы (2) и любое другое ее решение, отличное от. Очевидно, что разность будет решением системы (3), и если - произвольное решение однородной системы (3), то очевидно, что является решением системы (2). Отсюда следует, что все решения системы (2) можно получить, прибавляя к одному какому-нибудь ее решению всевозможные решения однородной системы (3).

Таким образом, общее решение системы (2) равно линейной комбинации общего решения однородной системы (3) и произвольного, но фиксированного решения системы (2). Если фундаментальная система решений однородной системы (3) и - произвольное фиксированное решение системы (2), то общее решение системы (2) имеет вид , где - произвольные числа.

Пример. Найти фундаментальную систему однородной системы уравнений.

Решение. Решаем систему методом Жордана-Гаусса:

Общее решение имеет вид:

Решение получим, придавая свободным неизвестным значения :

, и решение получим, полагая :

. Таким образом, одна из фундаментальных систем

решений имеет вид:

,.

Общее решение системы можно представить в следующем виде: где - произвольные числа. Например, полагая , получим одно из частных решений: .