1.2. Матрицы и операции над ними

Матрицей порядка mn называется прямоугольная таблица элементов, имеющая m строк и n столбцов. Матрица такого порядка обозначается так:

A= (a _{i j}) _mn,

где a_ij – элемент i-ой строки (i =1, 2 …m) и j-ого столбца (j=1, 2…n).

Над матрицами можно производить следующие действия:

1) сложение и вычитание;

2) умножение матрицы на число;

3) умножение;

4) возведение в степень.

Сложение и вычитание производится над матрицами только одинаковых порядков. Суммой матриц А и В называется матрица того же порядка, что и у слагаемых, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Аналогично определяется и вычитание матриц.

Чтобы умножить матрицу на число, следует умножить на это число каждый элемент матрицы.

Для осуществления произведения двух матриц необходимо, чтобы число столбцов первого сомножителя равнялось числу строк второго. При умножении матрицы A= (a _{i j}) _mn на матрицу В= (b _{j k})_n получаем матрицу С= (с _{i k}) _m, у которой элемент с_ik равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы к-ого столбца матрицы В, т.е.: C_ik=a_i1b_1k+a_i2b_2k+…+a_inb_nk.

Возводить в степень можно только квадратные матрицы. К-ой степенью квадратной матрицы называется произведение К множителей, равных А.

Пример 1. Перемножить матрицы:

A= и В=.

Решение:

A·В = ==

Для данного примера можно найти и обратное произведение, т.е. В·А, так как число столбцов у матрицы В равно числу строк матрицы А:

В^.А = =.

Пример 2. Найти f(A), если f(x)=x²+4x-7 и

А=

Решение.

f (A)=A²+4A-7E= +4-7=

=+-=.

Упражнения.

1.2.1. Найти: а) 3А-2В; б) А+5В; в)2А+В+5, если

А= В=

1.2.2. Найти: а) 3В-А; б) В-2А; в) 3А+В-2; если

А= , В= .

1.2.3. Найти АВ и ВА, если

А= , В= .

Найти произведения:

1.2.4. . 1.2.5.

1.2.6. 1.2.7.

1.2.8.

1.2.9. .

1.2.10. Пусть Е – единичная матрица порядка 3·3, а А любая 3·3 матрица. Показать, что АЕ=АЕ=Е.

1.2.11. Пусть О – нулевая и А – любая квадратные матрицы одного и того же порядка. Показать, что ОА=АО=О.

Произвести указанные действия

_{1.2.12. 1.2.13.} 1.2.14. 1.2.15.

1.2.16. Найти Е ⁿ, где Е - единичная матрица любого порядка.

1.2.17. Найти О ⁿ , где О – нулевая квадратная матрица любого порядка.

1.2.18. Найти АВ-ВА, если

A=; В=.

1.2.19. Даны матрицы:

А= ; В=.

Найти 3А+В, 2А-3В, А²-В². Проверить выполняется ли переместительный закон умножения для данных матриц. Найти f(A), если f(x)=x²-4x-3.

1.2.20. A= 1.2.21. A=