1.7. Метод полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса

Методом полного исключения неизвестных Жордана-Гаусса можно решать любую систему линейных уравнений:

Прежде всего составляется матрица из коэффициентов при неизвестных и свободных членов уравнений этой системы, называемая расширенной матрицей системы:

Над матрицей производятся следующие элементарные преобразования, в результате которых система уравнений, соответствующая вновь получаемой матрице, остаётся эквивалентной исходной:

а) перемена местами любых строк матрицы,

б) умножение любой строки матрицы на число, отличное от нуля,

в) прибавление к некоторой строке матрицы другой её строки, умноженной на любое число,

г) перемена местами любых столбцов (что соответствует перестановке членов, содержащих одноимённые неизвестные во всех уравнениях).

В результате этих преобразований получается система, в которой некоторое неизвестное исключено из всех уравнений, кроме одного. К полученной системе снова применяются элементарные преобразования, исключающие другое неизвестное и т.д.

В процессе преобразований могут встретиться несколько случаев.

1. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет единственное решение. Значения соответствующих неизвестных находятся в правой части матрицы.

2. Если на некотором этапе получилась строка, левая часть которой состоит из нулей, а правая не равна нулю, что соответствует уравнению:

то исходная система не имеет решений, так как написанное уравнение не имеет решений, т.е. система несовместна.

3. Если на некотором этапе образовалась строка, целиком состоящая из нулей, что отвечает уравнению:

то такую строку можно исключить из матрицы, так как написанное уравнение является тождеством. Наличие нулевой строки свидетельствует о том, что в исходной системе имелось, по крайней мере, одно уравнение, являющееся следствием остальных, то есть получаемое из остальных, путём умножения этих строк на некоторые числа и сложения результатов умножения.

4. Если на некотором этапе получилась матрица вида:

(k<n), то процесс вычислений заканчивается. Исходная система имеет бесчисленное множество решений. Для получения общего решения оставляется в левой части системы, отвечающей этой матрице, первые “k” неизвестных, остальные члены уравнений переносятся в правую часть к свободным членам.

Если придать неизвестным в правой части общего решения конкретные значения и подсчитать значения неизвестных левой части, то будем иметь частное решение. Если положить все неизвестные в правой части равными нулю, то соответствующее частное решение будет базисным.

Пример. Решить систему линейных уравнений:

Решение. Будем решать систему методом Жордана-Гаусса.

Составим расширенную матрицу и поменяем местами первую и вторую строки:

Приняв коэффициент при неизвестном в первой строке за направляющий, исключим неизвестное из остальных уравнений, т.е. умножив первую строку на “-2” и на “-3”, сложим соответствующие результаты со второй и третьей строками полученной матрицы.

Далее принимаем за направляющий элемент “-3” – во второй строке и во втором столбце. Чтобы получить единицу вместо направляющего элемента, разделим вторую строку на “-3”. Умножив полученную строку соответственно на “-2” и на “3”, сложим результаты соответственно с первой и третьей строками, тем самым исключим неизвестное из первого и третьего уравнений системы:

Далее, принимая элемент “-6” в третьей строке и третьем столбце за направляющий, поделим третью строку на “-6”. С помощью этой строки, содержащей единицу, получим нули в третьем столбце в первой и второй строках:

Последняя матрица соответствует системе уравнений:

Считая и свободными, переносим их в правую часть. В результате получаем общее решение системы:

Давая и произвольные значения, получаем бесчисленное множество решений.

Пусть и , тогда частное решение будет следующим:

При и получаем базисное решение:

Подставляя полученные решения в заданную систему уравнений, можно убедиться в правильности вычислений.

Упражнения.

Решить системы линейных уравнений. Выяснить геометрический смысл решения:

1.7.1.

1.7.2.

1.7.3.

Решить системы уравнений методом полного исключения неизвестных (методом Жордана-Гаусса). Если система является неопределённой, то надо найти одно из базисных решений и частное решение, не являющееся базисным.

1.7.4.

1.7.5.

1.7.6.

1.7.7.

1.7.8.

1.7.9.

1.7.10.

1.7.11.

1.7.12.

1.7.13.

1.7.14.

1.7.15.

1.7.16.

1.7.17.

1.7.18.

1.7.19.

1.7.20.