1.10. Линейная зависимость и независимость векторов

Система векторов называется линейно-зависимой, если хотя бы один из этих векторов является линейной комбинацией остальных, т.е. некоторый вектор можно представить в виде:

,

где - числовые множители.

В противоположном случае система векторов называется линейно-независимой. Существует и другое определение линейной зависимости системы векторов. Система векторов называется линейно-зависимой, если существует такие числа , по крайней мере, одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:

.

Если же это равенство имеет место тогда и только тогда, когда , то система векторов линейно-независима.

В n-мерном пространстве существует не более n линейно-независимых векторов. Любая система векторов, состоящая из числа векторов, больше n, является линейно-зависимой в этом пространстве.

Пример 1. Определить, является ли система векторов =(3,0,1); =(4,1,-2); =(1,4,3); =(0,2,-1) линейно-зависимой. Если является, то один из векторов выразить как линейную комбинацию других.

Решение. Имеем четыре вектора в трехмерном пространстве. Следовательно, данная система векторов является линейно-зависимой. Можно решить эту задачу, воспользовавшись вторым определением линейной зависимости системы векторов. Запишем уравнение:

.

Определим значения , для этого в равенство подставим данные вектора и произведем соответствующие действия:

Умножим каждый вектор на и сложим полученные векторы.

Учитывая, что два вектора равны в том случае, если равны их соответствующие координаты, получим однородную систему линейных уравнений:

Решаем данную систему методом Жордана-Гаусса:

На первом шаге принимаем «1» в третьей строке за направляющий элемент, меняем местами данную строку с первой и получаем нули в первом столбце. На втором шаге принимаем за направляющий элемент «1», стоящий во второй строке и во втором столбце. С помощью этой строки получаем нули во втором столбце. На третьем шаге принимаем «-48» за направляющий элемент и делим третью строку на «-48». С помощью полученной строки получаем нули в третьем столбце. Последняя матрица соответствует системе уравнений:

откуда получаем:

Найденные значения подставим в исходное равенство:

Полагая , разделим полученное равенство на . В результате будем иметь следующую зависимость между векторами:

Заметим, что из полученного равенства любой из векторов можно представить, как линейную комбинацию остальных векторов, например:

Упражнения.

1.10.1. Найти линейную комбинацию векторов =(4,1,4,- 2), =(1,2,-3,2),

=(16,9,1,-3).

1.10,2. Найти вектор из уравнения:

, если =(5,-8,- 1,2), =(2,- 1,4,-3) и =(-3, 2, -5, 4).

Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно-зависимыми или линейно-независимыми. Если система векторов линейно-зависима, то установить эту зависимость:

1.10.3. =(3, 5, 0, 4) и = (0, 1, 2, - 3).

1.10.4. = (1, 2, 4), =(3, 5, 1) и =(0, 1, -1).

1.10.5. =(2, 1, 3), =(5, 3, 2) и =(1, 4, 3),

1.10.6. = (3, 4, -5), =(8, 7, -2) и =(1, 4, 3), =(2, -1, 8).

1.10.7. =(2, -5, 1, 2), =(-3, 7, -1, 4), =(5, -9, 2, 7) и =(4,-6, 1, 2).

1.10.8. =(4, -5, 2, 6), =(2, -2, 1, 3), =(6, -3, 3, 9) и =(2,-1, 1, 3).

1.10.9. Найти все значения Q, при которых вектор =(7,-2,Q) линейно выражается через векторы: =(2, 3, 5), =(3, 7, 8) и =(1, -6, 1).

1.10.10. Найти все значения Q, при которых вектор =(5, 9, Q) линейно выражается через векторы: =(4, 4, 3), =(7, 2, 1) и =(4, 1, 6).

Установить линейную зависимость следующей системы векторов и выразить один из векторов системы в виде линейной комбинации остальных:

1.10.11. =(5, -3, 2, 4), =(2, -1, 3, 5) и =(-4, -3, -5, -7).

1.10.12. =(8, 7, 4, 5), =(3, 2, 1, 4) и =(0, 5, 4, -17).

1.10.13. =(3, 2, 1), =(0,1,2), =(1,-1,-2) и =(9, 2, -2).

1.10.14. =(3, 1,4), =(-1,2,0), =(2,1,-7) и =(11, -3, 1).

1.10.15. =(4, -5,2,6), =(2,-2,1,3), =(2, - 2,1,3) и =(4, -1,5,6).

1.10.16. =(1,2, 1, 1), =(1,1,1,1), =(1,1,-1,-1), =(1, -1, 1, -1) и =(1, -1, -1, 1).