1.4. Решение матричных уравнений

Систему n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2nx_n=b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n1x₁+a_n2x_n+…+a_nnx_n=b_n

можно записать в матричной форме ( в виде матричного уравнения), если матрицу из коэффициентов при неизвестных обозначить через А, матрицу-столбец из неизвестных – через X и матрицу столбец свободных членов – через В, т.е.

А·Х=В. (1)

Пусть определитель матрицы А не равен 0.Чтобы решить уравнение (1), то есть найти неизвестную матрицу Х, умножим его на А^-1 слева:

А^-1·А·Х= А^-1·В.

Так как А^-1·А=Е и ЕХ=Х, то получаем решение матричного уравнения (1) в виде

Х= А^-1·В.

Таким же образом можно решать любые матричные уравнения, если соответствующие обратные матрицы существуют.

Пример. Найти неизвестную матрицу Х из уравнения:

Х =.

Решение. Обозначим данные матрицы соответственно буквами А, В и С. В результате получим следующее матричное уравнение:

А·Х·В=С.

Предположим, что А^-1 и В^-1 существуют. Чтобы найти матрицу Х, умножим данное уравнение на А^-1 слева:

А^-1·А·Х·В= А^-1·С, или Х·В= А^-1·С.

Далее умножим полученное уравнение на обратную матрицу В^-1 справа. В результате получаем решение:

Х= А^-1·С·В^-1.

Находим обратные матрицы для А и В:

,

,

А^-1= , B^-1=

Полученные обратные матрицы А^-1 и В^-1 подставляем в равенство:

Х= А^-1.С ^. B^-1:

Х= А^-1.С ^. B^-1= ==

=.

Следовательно, Х= .

Проверку можно осуществить, подставляя матрицу Х в исходное уравнение:

=,

=, т.е. =.

Упражнения.

Записать систему линейных уравнений в виде матричного уравнения и решить его:

2х₁-x₂-x₃=4 x₁+2x₂+4x₃=31

1.4.1. 3x₁+4x₂-2x₃=11 1.4.2. 5x₁+x₂+2x₃=29

3x₁-2x₂+4x₃=11 3x₁-x₂+x₃=10

x₁+x₂+x₃+x₄=2 2x₁+x₂=1

x₁+2x₂+3x₃+4x₄=3 3x₁+2x₂=1

1.4.3. x₁+4x₂+9x₃+16x₄=3 1.4.4. x₁+х₂+3x₃+4x₄=1

x₁+8x₂+27x₃+64x₄=-9 2x₁-x₂+2x₃+3x₄=1

Найти неизвестную матрицу Х из уравнений:

1.4.5.Х= 1.4.6.Х=

1.4.7.Х=

1.4.8. Х=

1.4.9.Х=

1.4.10.Формулы поворота осей координат на угол имеют вид:

x₂=x₁cos-y₁sin

y₂=x₁sin+y₁cos

Найти обратные соотношения, записав систему уравнений в матричной форме и разрешив полученное уравнение относительно х₁ и у₁.

Найти результат последовательного выполнения двух линейных преобразований с помощью произведения соответствующих матриц:

1.4.11. x₁=3y₁-y₂ y₂=4z₁+z₂

x₂=2y₁+3y₂ y₂=-2z₁+z₂

1.4.12. z₁= 2x₁-x₂ x₁=y₁+2y₁

z₂=x₁+3x₂ x₂=-3y₁+y₂

x₁=3y₁-y₂ y₁=2z₁+z₂-3z₃

1.4.13. x₂=y₁+2y₂-y₃ y2=z₁+2z₂

x₃=3y₂+2y₃ y3=z₁+4z₁

z₁=x₁+3x₃ x₁=-y₁+y₂-y₃

1.4.14. z₂=2x₁-x₂ x₂=2y₁+3y₂

z₃=x₁+x₂+x₃ x₃=4y₁

Найти линейные преобразования, обратные следующим преобразованиям:

1.4.15. x₁=y₁+2y₂ y₁=2x₁+2x₂+3x₃

x₂=3y₁+4y₂ 1.4.6 y₂=x₁-x₂

y₃=-x₁+2x₂+x₃

x₁=y₁+y₃

1.4.17. x₂=y₂

x₃=2y₂+2y₃