1.11. Базис системы векторов. Переход от одного базиса к другому

Базисом системы векторов называется такая ее подсистема, которая:

1) является линейно-независимой;

2) любой вектор из системы векторов можно выразить как линейную комбинацию этой подсистемы векторов.

Базис в n-мерном пространстве содержит n линейно-независимых векторов. В пространстве (мы рассматриваем арифметические пространства) существует бесчисленное множество базисов. Одним из базисов пространства является система единичных векторов e_i (i=l,2,...,n), у которых все компоненты, кроме i-той, равны нулю, а i-я компонента равна единице. Любой вектор пространства можно представить как линейную комбинацию векторов базиса. Например, если кроме системы единичных векторов:

=(1,0,0,…,0),

=(0,1,0,…,0),

……………….

=(0,0,0,…,1),

задан вектор , то данный вектор можно представить в виде: .

Коэффициентами разложения данного вектора по векторам базиса являются его координаты. В каждом базисе вектору соответствует строка его координат. Это разложение вектора по данному базису является единственным. Например, если дан базис в n-мерном пространстве в виде системы векторов ,

отличный от базиса единичных векторов, то разложение вектора в данном базисе будет иным:

,

где - координаты вектора в новом базисе.

Рассмотрим задачу перехода от одного базиса к другому. Пусть в n-мерном пространстве дан базис в виде системы единичных векторов и новый базис в виде системы векторов:

, где (i=l, 2,..., n).

Задан также вектор в старом базисе, т.е. в базисе из единичных векторов. Требуется перейти из старого базиса к новому, т.е. найти координаты единичных векторов, а также координаты вектора в новом базисе.

Этот переход можно осуществить при помощи метода Жордана-Гаусса. Для этого надо составить матрицу, в которой записать сначала векторы старого базиса, затем нового базиса и, наконец, вектор . Координаты каждого вектора будут записаны в столбце. В результате получим матрицу:

Умножая каждую часть матрицы на обратную матрицу слева, будем иметь:

т.е. в первой части получим в каждом столбце координаты соответствующего вектора старого базиса в новом базисе, во второй - новый базис в виде единичных векторов, в третьей - координаты вектора в новом базисе.

Таким образом, наша задача сводится к тому, чтобы путем преобразований методом Жордана-Гаусса получить во второй части единичную матрицу. Если это нельзя сделать, то система векторов (1=1,2,...,n) является линейно-зависимой и, следовательно, не образует базис.

Пример. Даны базисы в виде системы векторов =(1, 0, 0), =(0,1, 0), =(0, 0,1) и системы векторов

=(2, 4, 0), =(3,1,2) и =(1, 2, -1). Выразить векторы ,, через векторы ,,. Найти во втором базисе координаты вектора =(0, -5, 5), заданного в первом базисе. Выразим векторы через :

Таблица 1.11.1.

Решение. Все вычисления будем производить в таблице 1.11.1., в столбцах которой запишем координаты данных векторов в базисе ,,.

В таблице слева оставим одну графу для записи базисных векторов. Каждым шагом метода Жордана-Гаусса заменяем один базисный вектор другим. Все произведенные действия над строками указаны в примечаниях таблицы. Отметим, что необязательно первый шаг начинать с введения в базис вектора . Удобнее ввести в базис сначала вектор , так как он имеет в первой строке «1». В последнем шаге записаны конечные результаты. Так, вектор в новом базисе имеет координаты ; т.е.

Аналогично запишем и разложения других единичных векторов по векторам нового базиса:

Вектор в новом базисе имеет координаты (0, 1, -3).

Упражнения.

1.11.1. Написать разложение вектора =(3, 4, -2) в базисе =(1, 0, 0), =(0,1, 0), =(0, 0,1).

1.11.2. Показать, что векторы =(1, 2) и =(0, 3) образуют базис. Найти координаты вектора =(3, 0) в этом базисе. Результаты проверить графически.

1.11.3. Векторы =(1, 1, 1), =(1,1,2), =(1,2,3) и =(6, 9, 14) заданы в некотором базисе. Показать, что векторы ,,- образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

1.11.4. Показать, что векторы =(2, 1, -3), =(3, 2, -5), =(1, -1, 1)

образуют базис. Найти координаты вектора =(6, 2,- 7) в этом базисе.

1.11.5. Показать, что векторы =(1,0,3), =(-2,1,1) и =(0,2,4) образуют базис. Найти координаты вектора =(-9,6, 11) в этом базисе.

1.11.6. Показать, что векторы =(1,2,- 1,2), = (2,3,0,- 1), = (1,2,1,3) и =(1,3,- 1,1) образуют базис. Найти координаты вектора =(7,14,- 1,1) в этом базисе.

Доказать, что каждая из двух систем векторов является базисом. Найти связь между координатами векторов обоих базисов.

1.11.7. =(1,0), =(0,1), =(2,3) и =(1,2);

1.11.8. =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1), =(-1,0,2), =(2,1,0) и =(4,2,1);

1.11.9. =(4,2,1), =(2,0,3), =(0,7,1), =(3,1,9), =(0,2,1) и =(-1,1,- 6);

1.11.10. = (1,1,1,1), =(1,2,1,1),г, = (1,1,2,1), =(1,3,2,3), =(1;0,3,3), =

=(-2,-3,-5,-4), =(2,2,5,4) и = (-2,-3,-4,-4);

1.11.11.Даны векторы =(1,3), (2,4), =(4,3) в базисе =(1,0), =(0,1). Показать, что векторы и образуют базис. Найти связь между векторами нового и старого базисов. Найти координаты вектора в новом базисе.

1.11.12.Даны векторы: =(1,1,1), =(1,2,1), =(3,2,1) - базис и =(0,2,2) в базисе =(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1). Найти связь между новым и старым базисом. Найти координаты вектора в новом базисе.

1.11.13. Даны векторы =(1,1,1), =(1,1,2), =(1,2,3), =(-6,3,1), =(1,- 1,0), =(2,1,3), =(1,2,- 1). Показать, что векторы ,,образуют базис. Выразить в этом базисе все остальные векторы.