1.13. Линейные операторы

Определение. Оператором , отображающим векторное пространство в векторное пространство , называется функция, которая каждому вектору ставит в соответствие единственный вектор , что символически записывается в виде . Вектор называется образом вектора при отображении , а вектор – прообразом вектора .

Оператор называется линейным, если:

1. для любых

(свойство аддитивности оператора).

2. для любого и любого числа

(свойство однородности оператора).

Пусть задан линейный оператор , который отображает вектор в вектор .

Связь между координатами векторов и выражается матричным уравнением: ,

где А – матрица линейного оператора.

, , .

Если пространства и совпадают, то оператор отображает пространство в себя. В этом случае матрицей оператора является квадратная матрица .

Определение. Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора , если .

Число называется собственным значением (характеристическим числом) оператора .

Собственные векторы линейного оператора являются ненулевыми решениями матричного уравнения

или

(1.13.1)

где характеристическая матрица.

Решение уравнения (1.13.1) сводится к решению однородной системы n линейных уравнений, которая имеет ненулевые решения тогда и только тогда, когда определитель системы равен нулю, т.е. когда выполняется условие

=0 (1.13.2)

Уравнение (5.2) называется характеристическим уравнением матрицы .

Характеристическое уравнение (1.13.2) имеет n не обязательно различных корней . Сумма корней равна следу матрицы А, т.е. , а произведение равно определителю матрицы А:

.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей

.

Решение: Составим характеристическую матрицу:

.

Вычислим характеристические числа – собственные значения линейного оператора :

=0

или , .

Находим собственный вектор , соответствующий собственному значению . Для этого решим матричное уравнение:

или ·=, откуда находим

Положив , получим , где С постоянная, отличная от нуля.

В частности, при С=2 получим собственный вектор .

При получим матричное уравнение:

·,

откуда или , .

Собственный вектор при С=3 имеет вид: .

Таким образом, собственные векторы линейного оператора имеют вид:

; .

Упражнения.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей (в некотором базисе):

1.13.1. 1.13.2. 1.13.3. 1.13.4.

1.13.5. 1.13.6. 1.13.7. 1.13.8.

1.13.9. 1.13.10. 1.13.11. 1.13.12.

1.13.13. 1.13.14. 1.13.15.

1.13.16. 1.13.17. 1.13.18.

1.13.19. 1.13.20.

3