1.6. Правило Крамера

Правило Крамера применяется для решения систем n линейных уравнений с n неизвестными. Система n линейных уравнений с n неизвестными записывается в виде:

а₁₁x₁+a₁₂x₂+…+a_1jx_j+…+a_1nx_n=b₁

a₂₁x₁+a₂₂x₂+…+a_2jx_j+…+a_2nx_n=b₂

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n1x₁+a_2nx_n+…+a_njx_j+…+a_nnx_n=b_n

Составляется определитель системы из коэффициентов при неизвестных:

a₁₁ a₁₂ … a_1j … a_1n

= a₂₁ a₂₃ … a_2j …a_2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .

a_n1 a_n2 … a_nj … a_nn

Если определитель не равен нулю, то система уравнений имеет единственное решение, определяемое по формулам:

j=1,2,…,n;

где _j – определитель, получаемый из определителя системы заменой в нем j-ого столбца столбцом свободных членов уравнений системы.

Упражнения.

Решить системы линейных уравнений по правилу Крамера:

x₁+2x₂+3x₃-5=0, -x₁+2x₂-3x₃+5=0,

1.6.1. 2x₁-3x₂-2x₃-1=0, 1.6.2. 2x₁-x₂+x₃-7=0,

3x₁+x₂+x₃-4=0. 4x₁+3x₂-x₃-9=0.

2x₁-x₂+3x₃+2x₄=4, x₁+2x₂-x₃+x₄=-3,

1.6.3. 3x₁+3x₂+3x₃+2x₄=6, 1.6.4. 2x₁-x₂-2x₃+x₄=-2,

3x₁-x₂-x₃+2x₄=6, 3x₁+x₂+2x₃-2x₄=6,

3x₁-x₂+3x₃-x₄=6. -x₁+x₂+x₃-x₄=0

x₁+3x₂+5x₃+7x₄=12, x₁+2x₂+3x₃+4x₄=0,

1.6.5. 3x₁+5x₂+7x₃+x₄=0, 1.6.6. x₁+x₂+2x₃+3x₄=0,

5x₁+7x₂+x₃+3x₄=4, x₁+5x₂+x₃+4x₄=0,

7x₁+x₂+3x₃+5x₄=16. x₁+5x₂+5x₃+2x₄=0.

2x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=2, x₁+2x₂-3x₃+4x₄-x₅=-1,

x₁+2x₂+x₃+x₄+x₅=0, 2x₁+x₂-3x₃+4x₄+2x₅=8,

1.6.7. x₁+x₂+3x₃+x₄+x₅=3, 1.6.8. 3x₁+x₂-x₃+2x₄-x₅=3,

x₁+x₂+x₃+4x₄+x₅=-2, 4x₁+3x₂+4x₃+2x₄+2x₅=-2,

x₁+x₂+x₃+x₄+5x₅=5. x₁-x₂-x₃+2x₄-3x₅=-3.

1.6.9. Проверить, что система уравнений:

2x₁-3x₂+4x₃-3x₄=0,

3x₁-x₂+11x₃-13x₄=0,

4x₁+5x₂-7x₃-2x₄=0,

13x₁-25x₂+x₃+11x₄=0

имеет решение x₁=x₂=x₃=x₄=1 и вычислить определитель системы.

1.6.9.Доказать, что система уравнений:

ax+by+cz+dt=0,

-bx+ay+dz-ct=0,

-cx-y+az+bt=0,

-x+cy-bz+at=0

имеет единственное решение, если a,b,c,d – вещественные числа, не все равные нулю.