1.12. Квадратичные формы

Определение: Квадратичной формой f(x) от n переменных (неизвестных) называется алгебраическая сумма, каждый член которой является либо квадратом одной из переменных, либо произведением 2-х различных переменных.

Запишем квадратичную форму f() в следующем общем виде:

f()=

= где a_ij=a_ji при i≠j,

Такая запись квадратичной формы называется правильной. Матрица называется матрицей квадратичной формы. Это симметрическая матрица.

Пример:

Если А - невырожденная матрица, то квадратичная форма f(х) называется невырожденной квадратичной формой.

Квадратичная форма может быть записана более компактно, если использовать матричные обозначения. Вынося х₁, из первой строки записи, x₂- из второй,..., x_n - из последней, получим:

где х' - транспонированная от х.

Линейное преобразование переменных в квадратичной форме

Задана квадратичная форма f(x)= х' Ах и задан линейный оператор с матрицей Q=(q_ik) который преобразует переменные в переменные .

Рассмотрим, как изменится матрица квадратичной формы: , или в матричном виде х = Qy.

Протранспонируем:

где .

То есть матрица А при действии оператора преобразуется в матрицу В.

Пример: Осуществить над квадратичной формой

линейное преобразование, заданное матрицей

Отсюда

Если матрица Q невырождена, то линейные преобразования x_i являются

невырожденными.

Если квадратичная форма невырожденными линейными преобразованиями приведена к сумме квадратов переменных, то этот вид называется каноническим, т.е.

.

Теорема: Всякая квадратичная форма может быть приведена некоторым невырожденным линейным преобразованием к каноническому виду.

Доказательство методом индукции по числу неизвестных:

I. Если , то утверждение справедливо.

II. Предположим, что утверждение теоремы справедливо для квадратичной

формы f, зависимой от (n-1) неизвестных.

1) Рассмотрим квадратичную форму от n неизвестных:

2) Предположим, что в квадратичной форме содержится переменная с коэффициентом a_ii≠0. Для определенности положим a₁₁≠0.

3) Выделим в квадратичной форме f элементы, содержащие неизвестное x₁

и выделим в данном выражении полный квадрат:

4) Раскроем вторую скобку введем обозначения

(1)

В результате получим:

, где - квадратичная форма от n-1 неизвестных.

По предположению индукции утверждение теоремы справедливо для g от n-1 переменных, т.е. f от n переменных может быть приведена к каноническому виду невырожденными линейными преобразованиями. (Невырожденность преобразования (1) предлагается доказать читателю).

Пример:

III. При доказательстве данной теоремы мы предполагали, что квадратичная форма содержит хотя бы один элемент a_ii≠0. Рассмотрим случай, когда квадратичная

форма f не содержит квадратов переменных, т.е. a_ii=0,

1) Осуществим над квадратичной формой f следующие преобразования: в произведении 2а_ijx_ix_j представим x_i=z₁-z₂ ; x_j=z₁+z₂. Тогда, 2a_ijx_ix_j=2a_ijz₁²-2a_ijz₂². Остальные переменные x_k (k≠i,j ; ) положим равными z_k (k≠1,2). В этом случае в квадратичной форме появляется отличный от нуля коэффициент при квадрате переменной, например при z₁².

Если в квадратичной форме, преобразованной к каноническому виду, коэффициенты при квадратах неизвестных равны 1, то такой вид квадратичной формы называется нормальным.

Закон инерции квадратичных форм

Число положительных и число отрицательных коэффициентов при квадратах в нормальном виде квадратичной формы не зависит от выбора невырожденного линейного преобразования, с помощью которого f приведена к нормальному виду.

Определение:

Число положительных коэффициентов при квадратах называется положительным индексом инерции, а число отрицательных - отрицательным индексом инерции. Разность между ними называется сигнатурой.

Положительно определенные формы

Определение :

Квадратичная форма f от n неизвестных называется положительно (отрицательно) определенной, если при всех значениях неизвестных, хотя бы одно из которых отлично от нуля, f > 0 (f < 0), и положительно (отрицательно) полуопределенной, если f 0 (f ≤0). Во всех остальных случаях квадратичная форма называется неопределенной.

Очевидно, что, если форма f является положительно определенной, то ее нормальный вид содержит только квадраты переменных, входящих с коэффициентом +1.

Если f < 0, то с коэффициентом (-1).

Рассмотрим квадратичную форму f =х' Ах. где А - квадратная матрица порядка n.

Введем следующие понятия: назовем главными минорами порядка 1,2,...,n миноры, стоящие в левом верхнем углу матрицы A, т.е.:

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы

Теорема: Для того, чтобы квадратичная форма f была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы А были строго положительны.

Из данной теоремы вытекает необходимое и достаточное условие отрицательности квадратичной формы:

Для того, чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы коэффициентов данной формы, чередовались знаками, начиная с отрицательного, т.е:

Пример. Определить тип квадратичной формы предыдущего примера по критерию Сильвестра.

Вывод: квадратичная форма является неопределенной.

Упражнения

1.12.1. Дана квадратичная форма: 2х₁х₂+4х₁х₃.

Записать ее в матричной форме.

1.12.2. Дана квадратичная форма: 2х₁х₂+4х₁х₃.

Определить ее тип.

1.12.3. Дана квадратичная форма:

Определить ее тип.

1.12.4. Дана квадратичная форма:

Записать ее в матричной форме.

Найти все значения параметра , при которых квадратичная форма положительно определена.

1.12.5.

1.12.6.

1.12.7.

1.12.8.

1.12.9.

1.12.10.

Преобразовать к каноническому виду квадратичную форму. Выяснить, является ли квадратичная форма отрицательно (положительно) определенной или неопределенной.

1.12.11.

1.12.12.

1.12.13.

1.12.14.

1.12.15.

1.12.16.

1.12.17.

1.12.18.

1.12.19.

1.12.20.