Три фундаментальные теоремы функционального анализа

В этом пункте формулируются три очень важные теоремы, доказательства можно найти в любом учебнике функционального анализа.

ТЕОРЕМА 16 (Хана-Банаха). Пусть Х – линейное нормированное пространство, L – линейное многообразие в Х, f – линейный непрерывный функционал на L. Тогда f можно продолжить до линейного непрерывного функционала F на Х такого, что ||F|| = ||f ||.

Не всякое непрерывное отображение можно продолжить на более обширное множество. Так, функцию sin(1/x), непрерывную на множестве положительных чисел, нельзя продолжить на множество неотрицательных чисел. В то же время, равномерно непрерывную функцию продолжить можно (упражнение 5.1). Линейный функционал является равномерно непрерывным и в этой части утверждение теоремы достаточно понятно. Сильнейшим является утверждение о возможности продолжения с сохранением нормы.

ТЕОРЕМА 17. (Банаха об обратном операторе). Если А – линейный непрерывный оператор, биективно отображающий банахово пространство Х на все банахово пространство Y, то оператор А имеет непрерывный обратный.

Ранее (п.) отмечалось, что отображение, обратное к непрерывному и взаимно однозначному, не обязано быть непрерывным. В задаче 3.15 утверждается, что это так для отображений компактных пространств. Теорема Банаха утверждает справедливость этого для линейных отображений банаховых пространств.

ТЕОРЕМА 18. (Банаха-Штейнхауза) Если последовательность {A_n} линейных операторов ограничена в каждой точке банахова пространства Х, т.е. ||A_nх||  N(х), то нормы операторов ограничены, т.е. существует число M такое, что ||A_n||  M.

Упражнения

1. Докажите, что линейный функционал является равномерно непрерывным.

2. Операторы А,B:CC таковы: Ах = ,Bх = tx(t). Найдите нормы этих операторов и докажите, что АB  BА.

3. На множестве всех вещественных многочленов определены операторы Ар = р, Bр = xр. Найдите оператор АBBА.

4. Докажите линейность, ограниченность и найдите норму функционала F:L²R, где Fх =.

5. Ядром линейного оператора называется прообраз нулевого элемента. Найдите ядра и образы операторов, отображающих l²l², заданных формулами (х₁, х₂,…)(0,х₁, х₂,…); (х₁, х₂,…)(х₂, х₃,…); (х₁, х₂,…)(х₁, х₂/2, х₃/3,…).

6. Пусть линейный функционал удовлетворяет условию . Докажите, чтоF(x) = 0.

7. Докажите, что линейный функционал, неотрицательный на некотором шаре, ограниченный.

8. Если в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀ и ||х_n||  ||х₀||, то х_n  х₀.

9. Если в гильбертовом пространстве последовательность {х_n} слабо сходится к х₀ и последовательность {y_n} сходится по норме к y₀, то (х_n,y_n)(х₀,y₀). Достаточно ли слабой сходимости последовательности {y_n}?

10. Докажите, что в конечномерном пространстве слабая сходимость совпадает с сильной.

6. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Предисловие
   • Введение. Предварительные сведения
   • Некоторые важные неравенства
   • Метрические пространства Определение и простейшие свойства
   • Последовательности и их пределы.
   • Примеры метрических пространств
   • Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества
   • Непрерывные отображения
   • Полные метрические пространства
   • Компактные метрические пространства
   • Линейные нормированные пространства Основные понятия и примеры
   • Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
   • Компактность в линейных нормированных пространствах
   • Гильбертовы пространства
   • Линейные операторы Пространство линейных операторов
   • Сопряженные пространства и слабая сходимость
   • Три фундаментальные теоремы функционального анализа
   • Литература
   • Темы рефератов
   • Вопросы зачета
   • Указатель терминов и результатов
   • 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12

   Yandex.RTB R-A-252273-4