logo
Бронштейн Е

Некоторые важные неравенства

  1. Пусть p, q – положительные вещественные числа, такие, что Тогда при любыха, b выполняется неравенство

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку в неравенстве фигурируют только модули, можно считать, что числа а, b положительные. Рассмотрим функцию (t) = tmmt при t>0, m(0,1). Имеем

(t) = mtm1m =m(tm11).

Отсюда, функция (t) принимает наибольшее значение при t=1, т.е. tmmt 1m или tm1  m(t1). Положив t = ap/bq, m=1/p (из условия следует, что p > 1), получаем abq/p1  (1/p)(apbq1). Умножая это неравенство на bq, получаем abqq/pbq  (1/p) (ap bq). Из условия qq/p = 1. Отсюда, ab  , что и требовалось.

  1. Неравенство Гельдера для конечных сумм.

Пусть x1,x2,…,xn; y1,y2,…,yn  вещественные числа. Тогда

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .Можно считать, что A>0, B>0 – в противном случае x1=…=xn=0 или y1 =…= yn = 0 и неравенство очевидно. Полагая a = xi/A, b = yi/B в неравенстве п. 1, получим . Суммируя, получим,

что равносильно нужному неравенству.

При p = q = 2 неравенство Гельдера превращается в известное из линейной алгебры неравенство Коши-Буняковского

.

В п. доказывается более общая форма этого неравенства.

  1. Неравенство Гельдера для рядов.

Пусть ряды сходятся. Тогда сходится и ряд, причем

.

Это неравенство получается из предыдущего с помощью предельного перехода.

  1. Интегральное неравенство Гельдера.

Пусть х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0,1], . Тогда

.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует схеме из п. 2. Пусть . Как и раньше, можно считать, чтоA > 0, B > 0 – в противном случае хотя бы одна из функций нулевая и неравенство очевидно. В неравенство п. 1 подставим а = х(t)/A, b = y(t)/A. Получаем:

.

Интегрируя это неравенство от 0 до 1, получим:

,

что равносильно нужному неравенству.

  1. Неравенство Минковского для конечных сумм.

при p > 1.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем очевидное неравенство

.

К слагаемым в правой части применим неравенство Гельдера для конечных сумм (п.2):

Из равенства следуетq(p1) = p. Подставляя, получим

.

Поделив обе части неравенства на , получим нужное неравенство.

  1. Неравенство Минковского для рядов. Пусть p>1. Если сходятся ряды , то сходится ряд, причем

.

Это неравенство получается предельным переходом из предыдущего.

  1. Неравенство Минковского для интегралов. Пусть х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0,1], p>1. Тогда

.

Доказательство легко получить из неравенства Гельдера для интеграла аналогично п. 5.

  1. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Yandex.RTB R-A-252273-4