Некоторые важные неравенства
Пусть p, q – положительные вещественные числа, такие, что Тогда при любыха, b выполняется неравенство
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Поскольку в неравенстве фигурируют только модули, можно считать, что числа а, b положительные. Рассмотрим функцию (t) = tmmt при t>0, m(0,1). Имеем
(t) = mtm1m =m(tm11).
Отсюда, функция (t) принимает наибольшее значение при t=1, т.е. tmmt 1m или tm1 m(t1). Положив t = ap/bq, m=1/p (из условия следует, что p > 1), получаем abq/p1 (1/p)(apbq1). Умножая это неравенство на bq, получаем abqq/pbq (1/p) (ap bq). Из условия qq/p = 1. Отсюда, ab , что и требовалось.
Неравенство Гельдера для конечных сумм.
Пусть x1,x2,…,xn; y1,y2,…,yn вещественные числа. Тогда
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть .Можно считать, что A>0, B>0 – в противном случае x1=…=xn=0 или y1 =…= yn = 0 и неравенство очевидно. Полагая a = xi/A, b = yi/B в неравенстве п. 1, получим . Суммируя, получим,
что равносильно нужному неравенству.
При p = q = 2 неравенство Гельдера превращается в известное из линейной алгебры неравенство Коши-Буняковского
.
В п. доказывается более общая форма этого неравенства.
Неравенство Гельдера для рядов.
Пусть ряды сходятся. Тогда сходится и ряд, причем
.
Это неравенство получается из предыдущего с помощью предельного перехода.
Интегральное неравенство Гельдера.
Пусть х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0,1], . Тогда
.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО следует схеме из п. 2. Пусть . Как и раньше, можно считать, чтоA > 0, B > 0 – в противном случае хотя бы одна из функций нулевая и неравенство очевидно. В неравенство п. 1 подставим а = х(t)/A, b = y(t)/A. Получаем:
.
Интегрируя это неравенство от 0 до 1, получим:
,
что равносильно нужному неравенству.
Неравенство Минковского для конечных сумм.
при p > 1.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Запишем очевидное неравенство
.
К слагаемым в правой части применим неравенство Гельдера для конечных сумм (п.2):
Из равенства следуетq(p1) = p. Подставляя, получим
.
Поделив обе части неравенства на , получим нужное неравенство.
Неравенство Минковского для рядов. Пусть p>1. Если сходятся ряды , то сходится ряд, причем
.
Это неравенство получается предельным переходом из предыдущего.
Неравенство Минковского для интегралов. Пусть х(t), y(t) – функции, непрерывные на отрезке [0,1], p>1. Тогда
.
Доказательство легко получить из неравенства Гельдера для интеграла аналогично п. 5.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
Содержание
- Предисловие
- Введение. Предварительные сведения
- Некоторые важные неравенства
- Метрические пространства Определение и простейшие свойства
- Последовательности и их пределы.
- Примеры метрических пространств
- Замыкания множеств. Замкнутые и открытые множества
- Непрерывные отображения
- Полные метрические пространства
- Компактные метрические пространства
- Линейные нормированные пространства Основные понятия и примеры
- Изоморфные и изометричные линейные нормированные пространства
- Компактность в линейных нормированных пространствах
- Гильбертовы пространства
- Линейные операторы Пространство линейных операторов
- Сопряженные пространства и слабая сходимость
- Три фундаментальные теоремы функционального анализа
- Литература
- Темы рефератов
- Вопросы зачета
- Указатель терминов и результатов
- 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12