logo
Бронштейн Е

Введение. Предварительные сведения

Функциональный анализ изучает общие свойства пространств и их отображений. Что именно понимается под пространством, будет уточняться по мере изложения. Особое внимание в функциональном анализе уделяется пространствам, элементами которых являются функции и последовательности. Столь общий взгляд на вещи позволяет увидеть много общего в весьма далеких предметах. Функциональный анализ опирается на курсы математического анализа, алгебры и теории чисел, геометрии и топологии.

Напомним некоторые важные для дальнейшего понятия.

  1. Функцией или отображением f: XY называется правило, которое каждому элементу множества X сопоставляет элемент множества Y. Элемент из Y, сопоставленный элементу хX, обозначается через f (х). Если X1 X, то образом X1 при отображении f называется множество f(X1) = {f(x): xX1}  Y. Если Y1 Y, то прообразом Y1 при отображении f называется множество f 1(Y1) = {x: f(x) Y1}  X. Тождественное отображение iХ: XХ имеет вид i(x) = x для любого xX. Отображение f:XY называется взаимно однозначным или биективным (биекцией), если f(X) = Y и из того, что f(х1) = f(х2) следует равенство х1 = х2.

  2. Суперпозицией отображений f:XY, g: YZ, называется отображение fg:XZ, действующее по правилу fg(х) = g(f(х)). Суперпозиция взаимно однозначных отображений является взаимно однозначным отображением. Отображение f 1:Y X называется обратным к f, если ff 1 = iX, f 1f = iY. Обозначения прообраза множества и обратной функции совпадают, но смысл их различен. В первом случае он применяется к множеству и значением является множество, во втором – к элементу и значением является элемент. Прообраз множества существует всегда, а обратная функция не всегда. Например, функция х2 определенная на всей числовой прямой R, не имеет обратной. Та же функция, рассматриваемая на множестве [0,), имеет обратную, ею является функция .

Необходимым и достаточным условием существования отображения f 1 является биективность отображения f. Справедлива следующая формула: (fg)1= g1f1.

  1. Числовое множество А называется ограниченным сверху, если существует такое число М, что все числа из А не превосходят М. Число М называется верхней гранью А. Множество ограниченное сверху имеет бесконечно много верхних граней, поскольку любое число, большее верхней грани, само является верхней гранью. Наименьшая из верхних граней называется точной верхней гранью и обозначается sup А (читается супремум А). Аналогично определяются множество ограниченное снизу, нижняя грань, точная нижняя грань как наибольшая из нижних граней, она обозначается inf А (читается инфимум А). Основная теорема теории вещественных чисел утверждает, что ограниченное сверху множество вещественных чисел имеет точную верхнюю грань, ограниченное снизу – точную нижнюю грань. Следует иметь в виду, что для множества, состоящего только из рациональных чисел, это неверно. Грани ограниченного множества могут принадлежать или не принадлежать множеству. Так, оба множества (0,1), [0,1] имеют точные верхние грани 1 и нижние 0. В первом случае они не входят во множество, во втором – входят. Если supАА, то говорят, что множество А имеет максимум (в этом случае вместо supА используют обозначение max А). Аналогично определяется минимум множества min А.

  2. Линейным (или векторным) пространством называется множество X, для которого определены операции сложения x+y и умножения векторов на числа x, обладающие следующими свойствами:

  1. x+y = y+x;

  2. (x+y)+z = y+(x+z);

  3. Существует такой элемент (нулевой) 0  X, что x+0 = x для любого x;

  4. Для всякого xX существует обратный (x), т.е. такой, что x+(x) = 0;

  5. ()x = (x);

  6. (+)x = x+x;

  7. (x+y) = x+y

  8. 1x = x.

Вектора x1, x2,…, xn называются линейно независимыми, если из равенства 1x1+2x2+…+nxn = 0 следует, что 1 = 2 = … = n = 0. В противном случае вектора называются линейно зависимыми. Линейное пространство называется п-мерным, если в нем существует п и не существует большего числа линейно независимых векторов.

Любой набор из п линейно независимых векторов в n-мерном пространстве называется базисом линейного пространства. Всякий вектор п-мерного пространства представим единственным образом в виде линейной комбинации 1x1+2x2+…+nxn векторов базиса {x1,…, xn}. Если в линейном пространстве существует сколь угодно много линейно независимых векторов, то пространство называется бесконечномерным. Важными для дальнейшего примерами бесконечномерных линейных пространств являются пространство функций, непрерывных на отрезке [0,1] и пространство последовательностей.

  1. Множество векторов в X, замкнутое относительно операций сложения и умножения на числа, называется линейным многообразием. Множество векторов М, которое вместе с любыми двумя точками содержит прямую, через них проходящую (здесь определение прямой мы не даем), называется аффинным многообразием. Если x и y – две точки из М, то любая точка прямой, проходящей через x и y представима в виде x +y при некоторых числах ,  таких, что +=1. Аффинное многообразие, содержащее нулевой вектор, является линейным многообразием. Линейное многообразие всегда является аффинным многообразием.

  2. Множество М в линейном пространстве называется выпуклым, если вместе с любыми двумя точками оно содержит соединяющий их отрезок. Если x и y – две точки из М, то любая точка отрезка, соединяющего x и y представима в виде x +y при некоторых числах ,  таких, что ,0, +=1. Отрезок с концами x и y обозначается [x,y]. Отсюда следует, что аффинное (а значит и линейное) многообразие является выпуклым.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4