Последовательности и их пределы.

В математическом анализе рассматривались последовательности вещественных чисел х₁, х₂,…, х_n,…. Сокращенно мы их будем обозначать {х_n}. Пусть теперь в качестве элементов последовательности взяты точки метрического пространства Х. Как и в курсе математического анализа, далее будет изучаться поведение последовательностей, в частности, наличие расстояния позволяет ввести понятие предела последовательности.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Точка х₀ называется пределом последовательности {х_n}, если числовая последовательность (х_n,х₀) является бесконечно малой (стремится к 0). Если вспомнить определение бесконечно малой числовой последовательности, то получим определение предела последовательности в метрическом пространстве в следующей форме: точка х₀ называется пределом последовательности {х_n}, если

 > 0 N n > N выполняется неравенство (х_n,х₀) < .

Обозначения: х_nх₀, lim х_n = х₀.Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся.

Мы будем пользоваться понятием подпоследовательности. Если {х_n} – последовательность в метрическом пространстве и n₁<n₂<…<n_k<… - натуральные числа, то последовательность называется подпоследовательностью {х_n}. В частности, последовательность {х_n} является собственной подпоследовательностью. Из курса математического анализа и определения предела следует

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1. Для сходимости последовательности необходима и достаточна сходимость всех ее подпоследовательностей. При этом все они имеют один и тот же предел.

В математическом анализе доказывалось, что последовательность может иметь не более одного предела. В метрическом пространстве это свойство сохраняется.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 2. Если последовательность в метрическом пространстве сходится, то ее предел единственный.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х_nа, х_nb. Применяя неравенство треугольника, получим: (а,b)  (а,х_n) + (х_n,b). Поскольку оба слагаемых в правой части бесконечно малые и (а,b) число неотрицательное, то по известным теоремам о переходе к пределу в неравенствах получаем (а,b) = 0, а тогда по свойству 1 а = b, что и требовалось.

Одним из свойств сходящихся числовых последовательностей является их ограниченность. Некоторым аналогом этого свойства является

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 3. Если последовательность {х_n} в метрическом пространстве Х сходится, то для любой точки аХ числовое множество {(а,х_n)} ограничено.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть х_nх₀. По неравенству треугольника (а,х_n)  (а,х₀) + (х₀,х_n). Из ограниченности бесконечно малой числовой последовательности {(х₀,х_n)} следует ограниченность последовательности {(а,х_n)} сверху. Поскольку расстояния неотрицательные, то последовательность {(а,х_n)} ограничена и снизу.

На метрические пространства переносится и понятие шара.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Пусть a Х, r > 0. Шаром B радиуса r с центром в точке a называется множество точек, удаленных от a меньше, чем на r, т.е. B(a,r) = {xХ:(a, x) < r}.

Аналогично определяется замкнутый шар (a,r) = {xХ:(a,x)  r}. Шары с центром a мы будем называть также окрестностями точки a. Далее мы будем использовать то обстоятельство, что в любой окрестности точки a помещаются шары B(a,1/n) при достаточно больших n.

Утверждение х_nх₀ равносильно тому, что в любую окрестность точки х₀ попадают все члены последовательности, начиная с некоторого.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Множество в метрическом пространстве Х называется ограниченным, если оно расположено в некотором шаре.

Из предложения 4 тем самым следует, что множество элементов сходящейся последовательности ограничено. Если множество расположено в некотором шаре с центром в точке a, то оно расположено и в шаре какого-нибудь радиуса с центром в любой точке. Действительно, если M  B(a,r), то для любой точки xM справедливо неравенство (a,x) < r. Но тогда

(b, x)  (b,a) + (a, x)<(b,a)+r, т.е. множество M содержится в шаре B(b,r+(b,a)).