Метрические пространства Определение и простейшие свойства

Идея метрического пространства формализует понятие расстояния, к которому мы все привыкли. В обобщенном смысле можно ввести расстояние между весьма сложными объектами, например, функциями или последовательностями. Оказывается, существенными являются три свойства расстояния.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Метрическим пространством называется множество Х, любым двум элементам (точкам) х,у которого сопоставлено число (х,у), удовлетворяющее следующим условиям:

1) Неотрицательность: (х,у)  0, причем условие (х,у) = 0 равносильно тому, что х = у. Это означает, что расстояние между различными точками положительное.

2) Симметричность: (х,у) = (у,х).

3) Неравенство треугольника: (х,у)  (х,z)+(z,у). Это неравенство обобщает известное правило: сумма длин двух сторон треугольника не меньше третьей.

Функция  называется метрикой или расстоянием.

Из неравенства треугольника вытекает полезное обратное неравенство треугольника:  (х,z)(z,у)  (х,у), которое для плоских треугольников известно из школьного курса геометрии. Действительно, по неравенству треугольника и симметрии метрики (х,z)  (х,у) + (z,у), (z,у)  (х,у) + (х,z). Из первого неравенства следует (х,z)  (z,у)  (х,у), из второго – (z,у) (х,z)  (х,у). Нужное неравенство следует из того, что пара неравенств а  b, а  b равносильна одному неравенству а  b.

Любое множество Y  X можно считать наделенным метрикой . Оно называется подпространством X.