Сопряженные пространства и слабая сходимость

Линейный оператор А: XR называется линейным функционалом. Пространство L(X, R) банахово (п. ), поскольку пространство вещественных чисел полное. Линейные ограниченные функционалы будем обозначать f(x). Как и раньше, норма линейного функционала определяется формулой .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 23. Пространство L(X, R) называется пространством, сопряженным к X и обозначается X*.

Опишем пространства, сопряженные к некоторым линейным нормированным пространствам.

1. Конечномерные пространства.

Если (a₁,…,a_n) базис в п-мерном пространстве L, то линейный функционал f однозначно задается значениями (f(a₁),…, f(a_n)), поскольку для любого вектора значение функционала задается формулой. Мы будем использовать обозначениеf_i = f(a_i). Обратно, любой набор п чисел (f₁,…, f_n) задает линейный оператор в п-мерном пространстве описанным образом. Таким образом, пространством, сопряженным с п-мерным, является также п-мерное пространство. По сути, это описание на новом языке факта, который излагался в курсе линейной алгебры. Но теперь этого мало: мы рассматриваем пространства, наделенные нормой.

Докажем, что при p > 1 пространством, сопряженным к , является пространство, гдеПусть (х₁,…,х_n) координаты вектора х в пространстве L, (f₁,…, f_n) – координаты вектора f в сопряженном пространстве. Тогда f(х) = . Применяя неравенство Гельдера для конечных сумм (п. 2), получаем

f(х)=.

Если

||х||_p = 1,

то

f(х),

т.е.

.

Для того чтобы убедиться, что в действительности имеет место равенство, найдем для данного ненулевого вектора f такой вектор х, что ||х||_p = 1, f(х) = ||f||_q. Положим

.

Напомним, что функция sign(a) (знак a) равна 1 для a положительных и 1 для a отрицательных. Тогда

||х||_p =,

поскольку p(q1)=q. При этом

f(х)= =,

что и требовалось. Если p=2, то и q=2, т.е. пространство является сопряженным к самому себе. Этот факт будет далее обобщен.

Сопряженным к пространству является пространство. Действительно,

f(х)=,

т.е. . Для векторах = (sign(f₁),…, sign(f_n)), у которого ||х||_ =1, выполняется равенство f(х)= , что и требовалось. Аналогично можно установить и обратное: пространствоявляется сопряженным к.

2. Пространства последовательностей.

Ограничимся формулировками некоторых результатов. При p>1 (l^p)*= l^q, где

(l¹)*=m. При этом, m*l¹.

3. Функциональные пространства.

Сопряженным к пространству С является пространство функций с ограниченной вариацией (подробности опускаем). К пополненному пространству L^p сопряженным является пространство L^q (p и q связаны обычным соотношением примера 1).

4. Гильбертовы пространства.

Докажем следующую теорему.

ТЕОРЕМА 15. Пространство, сопряженное к гильбертову пространству Н, изометрично Н.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. 1. Пусть f: Н R –ненулевой линейный непрерывный функционал. Докажем, что существует, причем единственный, элемент fН, для которого f(х)=(f , x) (для нулевого функционала таким элементом является нулевой). Пусть L={x: f(x) = 0}  подпространство Н (см. п. ). Рассмотрим ортогональное дополнение НL (см. п. ) и выберем ненулевой элемент х₀ этого дополнения. Пусть f(х₀) =   0. Если f(х) = , то = =0, т.е. х.Отсюда следует, что любой вектор х пространства Н представим в виде сх₀+z, где z L. Элемент f будем искать в виде х₀. Тогда f(х₀) = (х₀,х₀) = х₀² = ,  = /х₀². Окончательно, по предыдущему х = +z (zL). Тогда (х₀,х) = , существование вектора доказано. Для доказательства единственности допустим, что (f₁,x) = (f₂,x) при всех x. Тогда (f₁  f₂,x) = 0 и при x = f₁f₂ из свойств скалярного произведения получим f₁f₂=0. Докажем теперь, что норма линейного функционала f равна норме вектора f. По неравенству Коши-Буняковского (f, x)  ||f ||||x||, это означает, что норма функционала не превосходит ||f ||. Положив x = f/||f ||, убеждаемся, что норма функционала совпадает с ||f ||.

2. Линейность любого функционала (f ,x) следует из определения скалярного произведения. Равенство его нормы норме вектора ||f|| доказано.

В линейных нормированных пространствах наряду с обычной можно ввести и иные виды сходимости.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 24. Последовательность {x_n} в линейном нормированном пространстве слабо сходится к вектору x₀, если для любого непрерывного функционала f справедливо утверждение f (x_n)  f (x₀).

Из непрерывности функционала следует, что из условия x_nx₀ по норме (в старом смысле) следует слабая сходимость. Приведем пример, который показывает, что обратное неверно.

Рассмотрим в гильбертовом пространстве l² последовательность векторов х₁=(1,0,…,0,…), х₂=(0,1,0,…,0,…),… (у вектора х_n п-я координата равна единице, остальные нулевые). Отмечалось (п. ), что эта последовательность не сходится в метрике пространства l². Пусть fl². Тогда (f,х_n)= f_n0, поскольку ряд сходится. Тем самымх_n слабо сходится к 0.