Непрерывные отображения

В математическом анализе важнейшую роль играли непрерывные функции. Дадим аналогичное определение для метрических пространствах.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 9. Пусть Х, Y – метрическое пространство. Отображение f: ХY называется непрерывным в точке aХ, если из того, что х_na следует, что f(х_n) f(a). Отображение называется непрерывным на Х, если оно непрерывно во всех точках Х.

Непрерывные отображения можно охарактеризовать иначе.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 5. Для того чтобы отображение было непрерывным на Х, необходимо и достаточно, чтобы прообраз каждого открытого подмножества Y было открытым подмножеством Х.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Необходимость. Пусть отображение f непрерывно, но при этом прообраз f^1(U) некоторого открытого множества U Y не является открытым. Это значит, что существует точка аf^1(U), которая не является внутренней точкой f^1(U), т.е. такая, в любой окрестности которой есть точки, не входящие в множество f^1(U). Выберем точки а_nf^1(U), для которых _Х(а_n,а)<1/n. Это неравенство означает, что а_nа следовательно f(а_n)  f(a). По определению прообраза f(а_n)U. Поскольку f(а)U и множество U открытое, точки f(а_n)U при достаточно больших n. Противоречие доказывает нужное утверждение.

Достаточность. Пусть прообраз каждого открытого множества в Y является открытым и а_nа. Рассмотрим некоторую окрестность U =B(f(а),) Y точки f(а). Поскольку окрестность является открытым множеством, то ее прообраз  открытое множество, содержащее точку а. Но тогда при некотором >0 шар B(а, ) f^1(U). Из сходимости последовательности а_n следует, что а_nf^1(U) при достаточно больших n, т.е. f (а_n) U при тех же n, что в силу произвольности  означает, что f (а_n)f(а).

Аналогично, отображение является непрерывным тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множества является замкнутым. При этом образ открытого множества при непрерывном отображении может не быть открытым, а образ замкнутого множества замкнутым. Например, образом открытого множества (1,1) при отображении y = x² является множество [0,1), которое открытым не является. Из того, что образ всякого открытого множества открыт, не следует непрерывность отображения. Например, рассмотрим отображение f отрезка [1,1] в двухточечное дискретное пространство {a,b} (п. ), действующее по правилу f[1,0] = {a}, f(0,1] = {b}. Поскольку в дискретном пространстве любое множество является открытым, то образ любого открытого множества открытый. Непрерывным отображение не является, поскольку 1/n0, но неверно, что f(1/n) = bf(0) = a.

Проверьте самостоятельно, что суперпозиция непрерывных отображений является непрерывным отображением. При этом если у непрерывного отображения существует обратное, то оно не обязано быть непрерывным. Например, воспользуемся известным из школы отображением множества [0,2) на единичную окружность с центром в начале координат, сопоставив числу  такую точку, угол между радиусом-вектором которой и положительным направлением оси Ох, отсчитываемый против часовой стрелки, равен . Это отображение непрерывное и биективное, т.е. по п.1 имеет обратное. Проверьте, что обратное отображение непрерывным не является. В одном важном случае непрерывность обратного отображения можно гарантировать (упражнение 3.15).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 10. Отображение f: ХY называется топологическим или гомеоморфизмом, если оно непрерывное, биективное и обратное отображение также непрерывное.