3. Варианты заданий

Ниже приведены варианты заданий. Каждое из них включает ряд вариантов, отличающихся друг от друга набором исходных данных. Все параметры в формулах, если не оговорено иное, следует записывать в системе СИ.

Задание 1. Распределение температуры T(x,y) на тонкой пластине прямоугольной формы описывается уравнением Лапласа

Найдите распределение T(x,y). Размеры a,

b и граничные условия указаны в таблице.

Задание 2. На подложке интегральной микросхемы располагается кристалл планарного биполярного транзистора (см. рисунок). Для описания распределения температуры в структуре

используется уравнение Лапласа:

Подложка прямоугольной формы имеет размеры A × B. Предполагается, что транзистор в объеме и на своей геометрической границе имеет температуру TТ. Требуется определить распределение температуры по всей подложке. Размеры транзистора – 0,6 × 0,6 мм. Граничные условия, а также размерыA и B, a и b указаны в таблице.

Задание 3. Прямоугольная металлическая пластина с вырезом (см. рисунок) используется как теплоотводящий элемент. В угловом вырезе пластины (границы Г2 и Г3) расположен источник тепла. Распределение температуры T(x,y) по площади пластины описывается уравнением Лапласа:

Найдите распределение T(x,y). Размеры A, B, C и граничные условия даны в таблице

Задание 4. Процесс передачи тепла в твердом веществе описывается

уравнением теплопроводности

где ρ и C – плотность и теплоемкость вещества, T – температура, k – коэффициент теплопроводности, Q – плотность источников тепла. Рассчитайте процесс изменения температурного распределения T(x,t) в стержне, при указанных в таблице данных. Длина стержня L = 1м. Значения температуры на левом и правом концах стержня соответственно T(x=0) = T0 и T(x=L) = TL . Объемные источники тепла отсутствуют: Q = 0.

З адание 5. Пространственное распределение концентрации некоторого веществапримеси в неподвижной среде–"растворителе" описывается уравнением диффузии:

где N – объёмная концентрация, D – коэффициент диффузии, D grad(С) – плотность потока переноса примеси в процессе диффузии, Q – объёмная плотность источника примеси. Проводится диффузионная обработка участка кремния, на котором предполагается разместить интегральную схему. Для этого на поверхность эпитаксиального слоя n-типа наносится акцепторная примесь, вследствие чего в приповерхностном слое объемная концентрация равна N0. После этогодля диффузионной обработки образец помещают в печь на 1час. ассчитайте процесс диффузии в образце N(x,t) при указанных в таблице данных. Объемные источники диффузии отсутствуют: Q = 0.

Задание 6. Металлическая пластина, жестко закрепленная по краям, как показано на рисунке, равномерно нагружена по площади (нагрузка − P). Прогиб пластины W описывается уравнением Пуассона:

где () [] 2 3

1 12 ν − = Eh D − изгибная жесткость,Е − модуль упругости, h − толщина пластины, ν − коэффициент Пуассона.

Рассчитайте прогиб пластины при исходных данных, приведенных в таблице. На краях пластины используйте граничное условие W = 0.

Задание 7. Пластина прямоугольной формы с вырезом на одной из сторон жестко закреплена по краям и равномерно нагружена по площади. Прогиб пластины определяется из уравнения Пуассона(см. задание 6). Рассчитайте прогиб W(x,y) по данным, приведенным в таблице: A, B – размеры пластины; h − ее толщина; R – радиус выреза; P – нагрузка;

Е − модуль упругости; ν − коэффициент Пуассона. Граничное условие W = 0.

Задание 8. Пластина прямоугольной формы сотверстием в середине жестко закреплена по краями равномерно нагружена по площадинагрузка − P). Прогиб пластины W(x,y) описывается уравнением Пуассона (см. задание 6). Рассчитайте W(x,y) по данным, приведеннымв таблице: A и B – размеры пластины C – расстояние от края пластины до центра отверстия; R – радиус отверстия; h − толщина пластины; Е − модуль упругости; ν − коэффициент Пуассона. На краях пластины граничное условие W = 0, по краю отверстия – ∂W / ∂n = 0, где n – нормаль к краю отверстия.

Задание 9. Продольные колебания u(x,t) тяги описываются уравнением

где E − модуль упругости, ρ − плотность материала стержня. Тяга имеет длину L и закреплена на концах. Захватив тягу в центре (см. рисунок), ее деформируют так, что продольное перемещение становится равным ∆u:

З атем тяга освобождается. Рассчитайте колебания u(x,t) при заданных в таблице параметрах.

З адание 10. Колебания тонкой пластины (см. рисунок) без учета потерь на трение описываются нормированным волновым уравнением вида

t ∂

где u(x,y,t) – деформация пластины, x, y – коор

динаты, t – время. Рассчитайте колебания при заданных в таблице размерах a и b, граничных Г1, Г2, Г3, Г4 и начальных u(t=0) и ∂u/∂t | t = 0 условиях.

Задание 11. Коаксиальный кабель со смещенной центральной жилой, поперечное сечение которого показано на рисунке, имеет следующие размеры: d − диаметр центрального проводника; w − его смещение относительно оси экрана; D − диаметр экрана. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) между проводником и экраном описывается уравнением Лапласа

где x и y – координаты. Рассчитайте распределение ϕ(x,y) в сечении кабеля при указанных в таблице размерах d, w, D и потенциале центрального проводника ϕ1. Потенциал экрана ϕ2 примите равным нулю.

З адание 12. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сечении экранированной двухпроводной линии описываетсяуравнением Лапласа (см. предыдущее задание). Линия имеет следующие размеры (см. рисунок): d1 и d2 – диаметры проводников; w1 и w2 − их смещение относительно оси экрана; D − диаметр экрана. Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице размерах и потенциалах проводников ϕ1 и ϕ2 относительно заземленного экрана.

Задание 13. Проводник круглого сечения

расположен в прямоугольном металлическом экране (см. рисунок): Ax, Ay − ширина и высота экрана; d − диаметр проводника. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) между проводником и экраном описывается уравнением Лапласа (см. задание 11).

Р ассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице данных, где ϕ1 и ϕ2 − потенциалы проводника и экрана.

Задание 14. Двухпроводная линия, р азмещенная в прямоугольном экране, имеет следующие размеры (см. рисунок): A и B − ширина и высота экрана; d − диаметр проводников; hx – расстояние между роводниками; hy – высота проводников относительно нижней стенки экрана. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сечении структуры описывается уравнением Лапласа (см. задание 11). Рассчитайтераспределение ϕ(x,y) при указанных в таблице исходныхданных, где ϕ1 и ϕ2 − потенциалы первого и второго проводников. Электрический потенциал экрана примите равным нулю.

Задание 15. Два печатных проводника располагаются на диэлектриче-

ской плате, помещённой в металлический экран (см. рисунок): W1 − ширина первого проводника; W2 − ширина второго проводника; t − их толщина; d1 и d2 – расстояния от левой стенки экрана до проводников; h − толщина платы; A и B – ширина и высота экрана. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в структуре описывается уравнением Лапласа (см. задание 11). Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице данных: ϕ1 и ϕ2 − потенциалы первого и второго печатных проводников; ε1 – относительная диэлектрическая проницаемость материала платы. Толщина проводников t = 0,1 мм. Потенциал экрана примите равным нулю.

Задание16. Два печатных п роводника располагаются на диэлектрической плате, помещённой в металлический экран (см. рисунок): W − ширина проводников; t − их толщина; d – расстояние от левой стенки экрана до проводников; h − толщина платы; A и B − ширина и высота металлического экрана, C – расстояние от нижней стенкиэкрана до подложки.

Р аспределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в данной структуре описывается уравнением Лапласа (см. задание 11). Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице исходныхданных, где ϕ1 и ϕ2 − потенциалы верхнего и нижнего проводников; ε1 – относительная диэлектрическая проницаемость материала платы. Толщина проводников t = 0,1 мм. Потенциал экрана примите равным нулю.

З адание 17. Металлическая микрополосковая линия располагается на диэлектрической подложке, нижняя сторона которой имеет металлизацию. Структура характеризуется следующими параметрами: W − ширина печатного проводника; t − толщина печатного проводника; h − толщина подложки, ε1 – относительная диэлектрическая проницаемость материала подложки. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сечении структуры описывается уравнением Лапласа(см. задание 11). Рассчитайте распределение ϕ(x,y) при указанных в таблице размерах W, t, h и потенциале ϕ1 верхнего электрода относительно нижней металлизации. При расчете полагайте, что микрополосковая линия располагается в заземленном экране (см. задание 16), расстояние до боковых и верхней стенок которого много больше поперечных размеров самой линии.

Задание 18. Четырехэлектроднаяструктура, представленная на рисунке,

окружает некоторую область, заполненную диэлектриком. Она характеризуется

следующими основными параметрами:A и B – ширина и высота структуры;a − ширина уступа в правом нижнем углу;b − высота этого выступа; ϕ1 − потенциал левого электрода; ϕ2 − потенциал верхнего электрода; ϕ3 − потенциал правого электрода; ϕ4 − потенциал нижнего электрода.

Распределение электрического потенциала ϕ(x,y) в поперечном сеченииструктуры описывается уравнением Лапласа (см. задание 11). Рассчитайтераспределение ϕ(x,y) при указанных в таблице исходных данных. Размерызазоров между электродами полагайте пренебрежимо малыми.

Задание 19. Проводящий слой планарного резистора (см. рисунок), имеет

д лину L и ширину W. На двух противоположных сторонах резистора располагаются металлические контакты. Они выделены на рисунке черным цвет ом. В средней части резистора на расстоянии d от левого контакта сделаны два круговых выреза радиусом R. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в резистивном слое описывается уравнением

где σ – удельная электрическая проводимость резистивного материала, ϕ – электрический потенциал, j – плотность тока.

Рассчитайте распределение в резистивном слое потенциала ϕ(x,y)напряженности поля E = –grad (ϕ) и плотности тока j при указанных втаблице исходных данных, где U – приложенное к резистору напряжение. На свободных от контактов сторонах используйте условие Неймана n·grad(ϕ)=0.

Задание 20. Проводящий слой планарного резистора (см. рисунок), имеет

П -образную форму. На двух противоположных сторонах резистора располагаются металлические контакты. Они выделены на рисунке черным цветом. Распределение статического электрического потенциала ϕ(x,y) в резистивном слое описывается уравнением

г де σ – удельная электрическая проводимость резистивного материала, ϕ – электрический потенциал, j – плотность тока. Рассчитайте распределение в резистивном слое потенциала ϕ(x,y), напряженности поля E = –grad (ϕ) и плотности тока j при указанных в таблице исходных данных, где U – приложенное к резистору напряжение. На свободных от контактов сторонах используйте условие Неймана n·grad(ϕ)=0.