Конечно-элементная аппроксимация

Рассмотрим построение аппроксимации на одномерном примере. Пусть требуется найти распределение некоторой непрерывной функции u(x) вдоль стержня (см. рис. 7, а). На практике эта функция может описывать, например, распределение температуры или деформацию стержня.

Выберем и пронумеруем ряд точек вдоль оси х – это узловые точки (рис. 7, б). В нашем примере взято всего пять точек. Вообще говоря, их может быть произвольное количество, и располагаться они могут не на равном расстоянии друг от друга. Предположим, что значения u(х) в узловых точках известны. Они обозначены на рис. 7, б в соответствии с номерами узлов – u1, u2, u3, u4, u5.

Разбиение расчетной области, то есть стержня, на конечные элементы может быть проведено различными способами. Можно, например, выделить четыре элемента, включив в каждый из них по два соседних узла (рис. 8, а). А можно выделить в стержне всего два элемента, содержащие по три узла (рис. 8, б).

При использовании четырех элементов, каждый из которых включает только два узла, аппроксимирующая функция в пределах элемента будет линейна по х, так как две точки однозначно определяют прямую линию. Общая аппроксимация зависимости u(х) по всей длине стержня будет складываться из четырех отрезков прямых (рис. 8, а).

Зависимость u(x) в пределах одного элемента, ограниченного двумя соседними узлами x_i и x_j (j = i + 1), можно представить линейным интерполяционным полиномом u(x) ≈ α + α_x x. Определив параметры α и α_x по известным в точках x_i и x_j значениям функции u_i и u_j, запишем интерполяционный полином, то есть функцию элемента следующим образом:

где Ni и Nj – так называемые функции формы конечного элемента, ui и uj – значения функции u(x) в точках xi и xj, [N(e)] = [Ni Nj] – матричная строка функций формы элемента, – вектор-столбец. Здесь следует отметить, что ряд терминов метода конечных элементов получили название из механики, где он впервые начал активно использоваться.

В случае разбиения области на два элемента (рис. 8, б) три узловые точки в каждом из них позволяют однозначно определить функции элементов в виде полиномов второй степени. Соответственно распределение u(х) на всей длине стержня будет аппроксимироваться кусочно-непрерывной квадратичной функцией. При этом общая аппроксимация для стержня может содержать излом из-за несовпадения углов наклона графиков полиномов (их первых производных) в третьем узле.

Для двухмерной или трехмерной задачи аппроксимация строится аналогичным образом. В зависимости от вида элементов (количества используемых в них узлов) также применяется линейная или нелинейная аппроксимация. Примеры аппроксимации двухмерной непрерывной функции u(x,y) приведены на рис. 9.

Функция формы элемента будет представлена плоскостью, если для него взято минимальное число узлов, которое для треугольного элемента равно трем, а для четырехугольного – четырем. В этом случае используют линейную аппроксимацию u(x,y) ≈ α + α_x x + α_y y.

По аналогии с одномерным случаем линейный интерполяционный многочлен для простейшего треугольного элемента, включающего только три узла, записывают в виде

где Ni , Nj , Nk – функции формы элемента, ui , uj , uk – значения функции в узлах, принадлежащих элементу, [N(e)] – матричная строка функций формы элемента, [u(e)] – вектор-столбец значений функции u(x,y) в его узлах. Если элемент содержит большее количество узлов, то аппроксимирующая функция элемента будет отображаться криволинейной поверхностью.

Для всей расчетной области аппроксимацией распределения u(x,y) является кусочно-линейная (или кусочно-нелинейная) поверхность, каждый из участков которой определяется на отдельном элементе с помощью значений u(х,y) в принадлежащих ему узлах.

Для построения аппроксимации так, как это было показано выше, необходимо знать распределение u(х,y) во всей расчетной области. Однако до решения задачи эта зависимость обычно как раз и не известна. Тем не менее, используя аппроксимирующие формулы (22) или (23), решение можно получить. Способы отыскания решения рассмотрены ниже.