1.2.5. Погрешность решения

Погрешность решения методом конечных разностей в первую очередь определяется ошибкой, вносимой при замене исходного дифференциального уравнения на его конечно-разностный аналог.

Вначале оценим погрешность аппроксимации (6) для первой производной, используя разложение u(x) в окрестностях точки xi в ряд Тейлора:

откуда

Согласно (18) погрешность конечно-разностной аппроксимация по формуле (6) обусловлена тем, что в ней не учитываются слагаемые высоких порядков, начиная с (∆x/2!)(∂²u/∂x²). Можно утверждать, что в (19) слагаемые убывают по мере увеличения их порядка. Поэтому ошибка (6) приближенно равна (∆x/2)(∂²u/∂x²).

Аналогичную оценку нетрудно провести и для второй производной. Для этого необходимо воспользоваться (18) и аналогичным разложением, записанным для u(xi –∆x):

Сложив (18) и (20) получим выражение для второй производной:

Из сравнения (21) и (8) видно, что погрешность (8) определяется не учтенными в ней слагаемыми высоких порядков, начиная с (∆x²/12)(∂⁴u/∂x⁴). Поэтому ошибка (8) уменьшается пропорционально квадрату ∆x. Данный результат полезно учитывать при выборе шага сетки. Так, например, уменьшение вдвое шага ∆x = ∆y = h приводит к снижению ошибки аппроксимации для уравнения эллиптического типа в четыре раза.

Нельзя утверждать, что уменьшение шага сетки однозначно повышает точность решения методом конечных разностей. С увеличением количества узлов сетки возрастает объем вычислений и, следовательно, растут вычислительные погрешности. На практике для оценки погрешности решения можно провести ряд пробных расчетов с разными значениями шага сетки и выбрать вариант, обеспечивающий приемлемую точность при невысоких вычислительных затратах.