Основы метода конечных разностей

Метод конечных разностей заключается в том, что дифференциальное уравнение в частных производных заменяется соответствующей ему системой алгебраических уравнений. Решение этой системы дает приближенное решение для искомой функции u(x,y,z,t).

Метод включает следующие основные этапы:

1) построение сетки, охватывающей рассматриваемую область, например, элемент конструкции какого-нибудь устройства;

2) построение на полученной сетке конечно-разностной аппроксимации, эквивалентной исходному дифференциальному уравнению и дополнительным условиям;

3) формирование на основе конечно-разностной аппроксимации системы алгебраических уравнений и ее решение.

Рассмотрим перечисленные этапы на примере двухмерных задач.

1.2.1. Построение сетки

Формирование сетки производится с учетом геометрии задачи, например, формы детали, для которой выполняется расчет. Обычно для деталей, имеющих прямоугольную форму, используют декартову систему координат и соответственно прямоугольную сетку. На рис. 1 приведен пример такой двухмерной сетки, нанесенной на прямоугольную пластину.

В методе конечных разностей применяют и другие виды сеток. Например, если исследуемая конструкция содержит элементы с осевой симметрией, используют полярную сетку. В дальнейшем решение задачи строят, опираясь на узлы сетки, то есть на точки пересечения ее линий.

Конечно-разностная аппроксимация производных в дифференциальном уравнении строится путем замены этих производных на их приближенные аналоги с помощью сетки. Так, например, частную производную в точке (xi, yi) можно заменить приближенным значением так называемой "правой производной"

или "левой производной"

где ∆u и ∆x – приращения функции и аргумента, ui, xi и ui+1, xi+1 – значенияфункции и аргумента в узлах i и i+1, причем ∆x – шаг сетки по координате x. Аналогично получается формула для второй производной ∂²u/∂x²:

В полученных выражениях в отличие от точных производных используются малые, но не бесконечно малые разности ∆u и ∆x. Поэтому сам метод и получил название метода конечных разностей. Формулы для производных по независимым переменным y, z, t получают аналогично.

1.2.2. Аппроксимация уравнения эллиптического типа

Преобразование уравнения эллиптического типа (3) для двухмерной задачи (когда ∂²u/∂z²≡ 0) производится путем замены в нем производных ∂²u/∂x² и ∂²u/∂y² конечно-разностными формулами. Заменив в (3) ∂²u/∂x² с помощью (8) и используя аналогичное выражение для ∂²u/∂y², получим

где индексы i и j отсчитываются соответственно по осям X и Y. Для упрощения анализа предположим, что в сетке используются квадратные ячейки, то есть ∆x = ∆y = h ≠ 0, тогда

Уравнение (10) связывает между собой неизвестное значение функции ui,j с ее значениями в четырех соседних узлах. На сетке эти узлы образуют пятиточечный шаблон (рис. 2, а), позволяющий легко определить индексы в (10) для любого произвольно выбранного на сетке узла i,j

. Записывая (10) для каждого узла 2 < i < n–1, 2 < j < m–1 и подставляя вместо i и j соответствующие номера, получим систему связанных уравнений. Количество уравнений будет равно количеству узлов, в которых необходимо найти неизвестные ui,i. Иначе говоря, число неизвестных равно числу уравнений и система будет замкнутой. Значения функции u в узлах сетки, лежащих на границе рассматриваемой области, определяются заданными граничными условиями. Например, если в задаче об изгибе пластины ее края считаются жестко закрепленными, то смещение в граничных узлах полагается нулевым: u1,j = un,j = ui,1 = ui,m = 0.

Решение системы алгебраических уравнений, получаемой в результате конечно-разностной аппроксимации уравнения эллиптического типа, является одним из наиболее тяжелых по вычислительным затратам этапов расчета.Для повышения точности решения приходится использовать сетки с большим числом узлов, на которых формируются и довольно большие системы − нередко до нескольких тысяч алгебраических уравнений. Одним из способов уменьшения числа узлов и является использование сеток с неравномерным шагом. При этом сетку сгущают в наиболее важных с точки зрения точности участках, например, вблизи углов или отверстий.

В то же время решение задачи облегчается тем, что каждое из алгебраических уравнений содержит небольшое количество неизвестных. В качестве примера ниже приведена система с разреженной матрицей ленточного типа, полученной из (10) для прямоугольной области (рис. 1) при n = m = 5. В правой части записаны ui,j относящиеся к узлам, лежащим на границах.

Для решения подобных систем используют специальные методы, учитывающие разреженность матрицы коэффициентов. К специальным прямым относятся некоторые матричные методы и метод прогонки (аналог метода Гаусса). Из итерационных применяют метод Якоби (одновременных смещений) и метод Гаусса-Зейделя (последовательных смещений), а также модификации последнего, например, метод верхней релаксации.