Формирование сетки

Метод конечных элементов основывается на том, что любое непрерывное распределение физической переменной u(x,y,z,t) в расчетной области, например деформацию или температурное поле, можно аппроксимировать набором кусочно-непрерывных функций, определенных на конечном числе подобластей (конечных элементов). Данные элементы имеют общие узловые точки и в совокупности аппроксимируют форму области.

В зависимости от геометрии и размерности задачи используют различные виды конечных элементов (см. рис. 5). Чаще всего применяются простейшие элементы – симплексы.

Количество узлов в симплексе на единицу превышает размерность задачи. Для двухмерной задачи симплекс-элементом будет являться прямолинейный трехузловой треугольник, а для трехмерных – прямолинейный четырехузловой тетраэдр. Широкое применение симплексов обусловлено тем, что они позволяют заполнять расчетную область произвольной формы полностью без разрывов, а также на них удобно использовать в качестве аппроксимирующих функций линейные полиномы.

Обычно для разбиения расчетной области на элементы используется специальный алгоритм покрытия, обеспечивающий автоматическую генерацию сетки.

Одна из таких процедур работает следующим образом (см. рис. 6, а). Вначале производится нанесение с некоторым шагом узлов на границу области. После этого внутри области строится вспомогательная кривая эквидистантная границе. На кривую также наносятся узлы. Поочередное соединение узлов на первом и втором контурах дает симплексы. Далее все операции повторяются до заполнения симплексами всей области.

Известны и другие алгоритмы формирования конечных элементов, например, "картографический", использующий наложение на расчетную область сетки, которая затем адаптируется к границам и неоднородностям геометрии, или методы, основанные на заполнении объекта набором фигур (тел) с использованием свойств симметрии или отражения.

Пример автоматически сгенерированной трехмерной сетки для круглого диска показан на рис. 6, б.

2. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Решение дифференциальных уравнений в частных производных
   • Классификация уравнений по математической форме
   • Основы метода конечных разностей
   • 1.2.3. Аппроксимация уравнения гиперболического типа
   • 1.2.4. Аппроксимация уравнения параболического типа
   • 1.2.5. Погрешность решения
   • Основы метода конечных элементов
   • Формирование сетки
   • Конечно-элементная аппроксимация
   • Построение решения
   • 1.4. Использование пакетa matlab
   • 1.4.1. Выполнение расчетов в пакете matlab
   • 2. Указания к выполнению работы
   • 2.1. Подготовка к работе
   • 2.2. Порядок выполнения работы
   • 2.3. Содержание отчета
   • 2.4. Контрольные вопросы
   • 3. Варианты заданий
   • Задание № 2
   • Часть 1.
   • Часть 2.
   • Библиографический список

   Yandex.RTB R-A-252273-4