Правило Лопиталя – Бернулли.
При исследовании функций может появиться необходимость нахождения предела дроби , числитель и знаменатель которой пристремятся к нулю или бесконечности. Для нахождения таких пределов бывает удобно воспользоваться следующим правилом:
Теорема. Если функции идифференцируемы в окрестности точки, обе или обращаются в нуль в этой точке, или стремятся к бесконечности и существует предел отношенияпри, тогда существует предел отношения самих функций, равный предел отношения производных.
.
Замечание 1. Теорема верна и в том случае, когда функции ине определены в точке, ноили.
Замечание 2. Теорема верна и в случае , т.е. когдаили
Другими словами правило Лопиталя – Бернулли применяется для раскрытия неопределенностей типа и.
С помощью тождественных преобразований к основному виду иможно свести неопределенности других видов, таких как.
При выполнении соответствующих условий правило Лопиталя – Бернулли можно применять несколько раз.
Пример 2.24. Найти.
Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при:
.
.
Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.
[Подставимв получившиеся в числителе и знаменателе функции,] = –1.
Ответ: {–1}.
Пример 2.25. Найти.
Решение. Найдем значения функций, стоящих в числителе и знаменателе при:
.
.
Так как обе функции дифференцируемы в окрестности точки , то применим правило Лопиталя – Бернулли.
; [ Подставимв получившиеся в числителе и знаменателе функции,]. Так как неопределенностьсохранилась, и функции получившиеся в числителе и знаменателе опять удовлетворяют условиям теоремы (2.1), то можно применить правило Лопиталя – Бернулли еще раз.
.
Ответ: {2}.
Пример 2.26. Вычислить.
Решение. Проверкой убеждаемся, что функции, стоящие в числителе и в знаменателе обращаются в нуль при. Так ак они обе непрерывно дифференцируемы, то применяем правило Лопиталя – Бернулли:
.
Ответ: .
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Методы решения задач: техника вычисления производных.
- Производная функции
- Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
- Техника дифференцирования основных элементарных функций.
- Основные правила дифференцирования.
- Дифференцирование показательно – степенной функции.
- Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.
- Производные высших порядков.
- Приложения производных
- Дифференциал функции.
- Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- Уравнения касательной и нормали к графику функции.
- Правило Лопиталя – Бернулли.
- Формула Тейлора.
- 197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5