Формула Тейлора.

Одной из важнейших формул математического анализа несомненно является формула Тейлора, которая широко применяется и как инструмент теоретического исследования и как средство решения многих практических задач.

Формула Тейлора позволяет приближенно представить произвольную функцию в виде многочлена и вместе с тем позволяет оценить возникающую при этом погрешность , которая может быть сделана сколь угодно малой.

Вычисление значений функции при этом сводится к вычислению значений многочлена, что можно сделать, производя только простейшие арифметические действия.

Теорема Тейлора. Функция , дифференцируемаяраз в некотором интервале, содержащем точку, может быть представлена в виде суммы многочленаn-ой степени и остаточного члена, а именно:

, где– остаточный член в форме Пеано, бесконечно малая величина по сравнению с.

Напомним, что операция факториал определяется следующим образом:

;

;

;

0!=1

Если , то формула принимает вид:

и называется формулой Маклорена, однако для многих функций она неприменима, так как сами функции или их производные не существуют при(например:Ф).

Напомним, что частный случай замены функции многочленом был уже рассмотрен в п (1.5), где рассматривалось применение дифференциала к приближенным вычислениям. Именно там функция заменялась многочленом первой степени, т.е линейной функцией. Однако эти результаты носят очень ограниченный характер, так как не дают возможность оценивать точность такой замены.

Остаточный член в формуле Тейлора можно записывать и в других формах, например Коши или Лагранжа. И выбор формы его записи обычно диктуется условиями конкретной задачи.

Пример 2.27. Разложить в ряд Маклорена функцию.

Решение.Вычислим значение данной функции и ее производных при:

Формула Тейлора для некоторых элементарных функций.

Список литературы

1. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: В 2 ч. М.: Айрис Пресс, 2006. Ч. 1.

2. Методы вычисления пределов: Методические указания к решению задач / Сост.: Ю. В. Крашенинникова, М. Н. Абрамова. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2008.

Содержание

1. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ 4

1.1. Понятие производной, ее геометрический и физический смысл. 4

1.2. Техника дифференцирования основных элементарных функций. 6

1.3. Основные правила дифференцирования. 7

1.4. Дифференцирование показательно – степенной функции. 12

1.5. Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически. 13

1.6. Производные высших порядков. 14

2. ПРИЛОЖЕНИЯ ПРОИЗВОДНЫХ 16

2.1. Дифференциал функции. 16

2.2. Применение дифференциала в приближенных вычислениях. 17

2.3. Уравнения касательной и нормали к графику функции. 18

2.4. Правило Лопиталя – Бернулли. 21

2.5. Формула Тейлора. 23

Редактор И. Г. Скачек

__________________________________________________________________

Подписано в печать Формат 6084 1/16. Бумага офсетная.

Печать офсетная. Печ. л. 2.0.

Гарнитура «Times». Тираж 250 экз. Заказ

__________________________________________________________________

Издательство СПбГЭТУ «ЛЭТИ»