Дифференциал функции.

Пусть функция , определенная в некотором промежуткеимеет производную в точкеx.

.

Тогда можно записать , гдепри

Следовательно:

, где– бесконечно малая высшего порядка по сравнению с.

Определение:Дифференциаломфункциив точкеназывается главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.или.

Вычислим: . Следовательно

(2.1)

Пример 2.17.Найти дифференциал данной функции:

a) ,

b)

Решение: Находим производную данной функции и, умножив ее на дифференциал независимой переменной, получим искомый дифференциал данной функции:

a) ;

b)

.

Геометрический смысл дифференциала.

Дифференциал функции равен приращению ординаты касательной к графику функции в соответствующей точке, когда аргумент получает приращение.

Действительно на рисунке PNэто приращение функции, аPTэто приращение по касательной, или дифференциал.

Отметим, что может быть ,или– это зависит от направления выпуклости функции.тогда когда, т.е функция равна постоянной.

Дифференциал обладает свойствами, аналогичными свойствам производной.

2. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Методы решения задач: техника вычисления производных.
   • Производная функции
   • Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
   • Техника дифференцирования основных элементарных функций.
   • Основные правила дифференцирования.
   • Дифференцирование показательно – степенной функции.
   • Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.
   • Производные высших порядков.
   • Приложения производных
   • Дифференциал функции.
   • Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
   • Уравнения касательной и нормали к графику функции.
   • Правило Лопиталя – Бернулли.
   • Формула Тейлора.
   • 197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5

   Yandex.RTB R-A-252273-4