Производные высших порядков.

Производной второго порядка, или второй производной, функции называется производная от ее производной(которую называют первой производной).

Обозначения второй производной:

.

Механический смысл второй производной.

Если – закон прямолинейного движения точки, то– ускорение этого движения в момент времениx.

Аналогично определяются производные третьего, четвертого и более высоких порядков:

.

Производная n–ого порядка обозначается и так:.

Если функция задана параметрически: , то ее вторая производная определяется формулой:

.

Пример 1.15. Найтидля функции.

Решение. Для того, чтобы вычислить значение третьей производной функциив точке, необходимо найти первую и вторую производные этой функции.

.

.

. [Подставляем в найденное выражение третьей производной значение]

.

Ответ: {-6}.

Пример 1.16. Найти вторую производную функции, заданной параметрически:.

Решение. Найдем первую и вторую производные для функций.

.

.

Воспользуемся формулой, приведенной выше:

[воспользуемся тождеством, ].

Ответ: .