Уравнения касательной и нормали к графику функции.

Уравнение касательной к линии в точкеимеет вид. (2.3)

Нормалью к кривой в некоторой ее точке называется перпендикуляр к касательной в той же точке. Если , то уравнение нормали к линиив точкезапишется так:

. (2.4)

Если в точке производная функциибесконечна, то есть, или не существует, то касательная в таком случае параллельна осиOY.

Угол между двумя пересекающимися кривымииопределяется как угол между двумя прямыми, касательными к кривым в точке их пересеченияпо формуле:

. (2.5)

Пример 2.19. Найти угловой коэффициент касательной к графику функциив точке с абсциссой.

Решение.Угловой коэффициент касательной к графику функции в точке равен значению производной функции в этой точке. Найдем производную данной функции:.

Найдем значение производной в точке :

.

Ответ: 2.

Пример 2.20. Найти угол между касательной к графику функциив точке с абсциссойи осьюOX.

Решение. Тангенс угла между касательной к графику функциив точке с абсциссойи осьюOXэто значение производной этой функции в данной точке. Найдем производную функции.

.

. Значит. Следовательно угол между касательной к графику функции и осьюOXравенили.

Ответ: .

Пример 2.21. Записать уравнение касательной к графику функциив точке с абсциссой.

Решение. Найдем производную заданной функции и ее значение в данной точке:

.

.

Найдем значение заданной функции в точке :

.

По формуле (2.3) запишем уравнение касательной:

.

Пример 2.22. Составить уравнение касательной и нормали к параболев точке, где.

Решение: Подставляя в уравнение параболы заданную абсциссу касания, найдем ее ординату:.

Для определения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции и ее значение при.

.Подставляя найденные значения в уравнения (2.3) и (2.4) запишем уравнения касательной и нормали:

– уравнение касательной;

– уравнение нормали.

Пример 2.23. Найти угол, под которым пересекаются прямаяи парабола.

Решение: Для того, что бы найти точку в которой пересекаются кривые надо совместно решить уравнения параболы и прямой:

. Подставляем найденные значения в систему:. Следовательно, прямая и парабола пересекаются в двух точках:.

Далее находим угловые коэффициенты касательных к прямой и параболе:

;

.

Подставляя в найденные производные координаты точек пересечения, получаем угловые коэффициенты касательных:

.

.

Согласно формуле (2.5) получим:

..

..

Ответ: ,.