Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.
Если зависимость между xиy задана в форме уравненияF(x,y)=0, то говорят, что функция задана неявно. В этом случае для нахождения производныхиследует продифференцировать уравнениеF(x,y)=0 поx, считаяy функцией отx , или поy, считаяxфункцией отyи выразить из полученного уравнения производнуюили.
Пример 1.3. Найдите производнуюфункции, заданной неявно.
Решение.Продифференцируем исходное уравнение, считаяy функцией отx . Дифференцируя левую часть уравнения, необходимо воспользоваться правилом (1.5), а правую – правилом (1.3).
. [выразим из данного равенства]
.
.
.
Пример 1.14. Найдите производнуюзаданной неявно функции.
Решение.Продифференцируем исходное уравнение, считаяy функцией отx. Второе слагаемое в уравнения является сложной функцией, первое - произведением двух функций, одна из которых – экспонента сама является сложной. Поэтому продифференцируем каждое слагаемое отдельно, а потом запишем производную всей функции целиком.
.
В итоге получаем:
. [раскрываем скобки и группируем слагаемые, содержащие производную]
. [выражаем из получившегося уравнения]
.
.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Методы решения задач: техника вычисления производных.
- Производная функции
- Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.
- Техника дифференцирования основных элементарных функций.
- Основные правила дифференцирования.
- Дифференцирование показательно – степенной функции.
- Дифференцирование неявно заданных функций и функций, заданных параметрически.
- Производные высших порядков.
- Приложения производных
- Дифференциал функции.
- Применение дифференциала в приближенных вычислениях.
- Уравнения касательной и нормали к графику функции.
- Правило Лопиталя – Бернулли.
- Формула Тейлора.
- 197376, С.-Петербург, Проф. Попова, 5