Понятие производной, ее геометрический и физический смысл.

Пусть функцияопределена в интервале (a;b) и непрерывна в точке, и пусть. В окрестности точкивыбирается произвольная точкаx. Тогда разностьназывается приращением аргумента в точке. А разность– приращением функции. На рисунке рассмотрим секущую, проведенную через точкиMиN. Уголназывается углом наклона секущей, аее угловым коэффициентом.

Из прямоугольного треугольника MPN. Если точкаNбудет стремиться кMвдоль данной линии, то есть, то секущаяMNв пределе перейдет в касательнуюl , а угол наклона секущей –, в угол наклона касательной –.

Определение:

Производной функции в точкеназывается предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, т.е.

Геометрический смысл производной.

Из рассуждений, приведенных выше видно, что производная функции приравна угловому коэффициенту касательной к графику данной функции в точке, т.е.

Физический смысл производной.

Если – закон прямолинейного движения точки, то– скорость этого движения в момент времениt.

Быстрота протекания физических, химических и других процессов выражается с помощью производной.

Сила и импульс по второму закону Ньютона связаны соотношением:

Количество заряда, прошедшего через поперечное сечение проводника, определяет силу тока:

В электростатическом поле, изменяющемся только по оси OX, напряженность и потенциал связаны соотношением:

Если отношение приимеет предел справа (или слева), то он называется производной справа (соответственно производной слева). Такие пределы называются односторонними производными. Односторонние производные в точкеобозначаются соответственно:

– производная слева;

– производная справа.

Очевидно функция, определенная в некоторой окрестности точки , имеет производнуютогда и только тогда, когда односторонние производныесуществуют и равны между собой, причем.

Если для некоторого значения xвыполняется одно из условий

, то говорят, что в точкеxсуществует бесконечная производная, равная соответственно.

Функция, имеющая производную в данной точке, называется дифференцируемойв этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке данного промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

Пример 1.1. Пользуясь определением производной найти производную функции.

Решение: Зададим аргументу данной функции приращение. Тогда приращение функции. Воспользуемся определением производной:

.

Ответ: .