Основные правила дифференцирования.

Для того чтобы дифференцировать функции, обычно встречающиеся на практике, пользуются рядом простых и важных формул, которые обязательно знать наизусть.

Правила дифференцирования:

Пусть и– дифференцируемые функции. Тогда верны следующие формулы:

1. , еслиc– постоянная величина (константа).

2. (1.1)

Пример 1.2. Найти производную.

Решение: Пользуясь таблицей производных и правилом (1.1) находим:

3. (1.2)

Пример 1.3. Найти производную функции.

Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать:.

Продифференцируем выражения, стоящие в скобках, пользуясь таблицей производных.

,

,

, так как 6 – константа ,

,

.

В итоге получим:

.

.

Пример 1.4. Найти производную функции.

Решение. Так как по правилу (1.2) производная от суммы функций равна сумме производных от каждой функции, то можем записать:

.

Продифференцируем каждое слагаемое по отдельности, для удобства записав функции в виде степени с дробным показателем.

.

.

.

.

В итоге получим:

.

4. (1.3)

Пример 1.5. Найти производную функции.

Решение. Воспользуемся правилом (1.3) для дифференцирования произведения двух функций.

.

.

5. (1.4)

Пример 1.6. Найти производную функции.

Решение. Воспользуемся правилом (1.4) для дифференцирования частного двух функций.

.

В итоге:

.

6. Если , ато функцияназывается сложной функцией и, если обе функции дифференцируемы, то дифференцируема и сложная функция, а ее производную можно найти по формуле:(1.5)

Таким образом, производная сложной функции равна производной по промежуточному аргументу, умноженной на производную этого аргумента по независимой переменной. Коротко можно сказать так: производная сложной функции равна произведению производных всех ее составляющих.

Пример 1.7.Найти производную функции.

Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию, составленную из кубической функции и квадратичной. Тогда по правилу (1.5) производная сложной функции находится следующим образом:

.

Вспомним, что функция – промежуточная и введена нами для удобства нахождения производной от сложной функции, теперь нам надо вернуться обратно, подставив вместо этой промежуточной функции ее выражение:.

.

В дальнейшем промежуточная функция явно вводиться в решение не будет, но надо иметь в виду, что мысленно мы ее обязательно обозначаем.

Пример 1.8. Найти производную функции.

Решение: Для того, чтобы найти производную данной функции надо воспользоваться правилом (1.5), так как эта функция является сложной.

Промежуточной функцией в данном примере будет функция

.

.

Пример 1.9. Найти производную функции.

Решение: В данном случае промежуточная функция – степенная, применяя таблицу производных, получаем:

.

.

Пример 1.10. Найти производную функции.

Решение: И в данной сложной функции промежуточная функция тоже степенная:

.

.

Пример 1.11. Найти производную функции.

Решение: Данная сложная функция состоит из двух промежуточных функций. Дифференцируем, применяя правило (1.5).

.

.